Упр.33.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.7 а)система 3log1/2(x) + 2(y-1) =5, 2y+log2(x)=5; б)система 3 корень 3 степени x+y=log2(16×2), log2(x2) + 2 корень 3 степени x+y = 6; в)система tg2(x) + siny=2, 3siny + tg2(x)=0; г)система 3(x-y) — 7|2y-x| = 2, |2y-x| — 3(x-y-1)=-2.

1. а)

   Обозначим $$t=\log_6(xy)$$. Тогда система принимает вид
   $$ \begin{cases} 2x+3y=12,\\ t^2+1=2t. \end{cases} $$
   Из второго уравнения:
   $$ t^2-2t+1=0,\quad (t-1)^2=0,\quad t=1. $$
   Значит,
   $$ \log_6(xy)=1,\quad xy=6. $$
   Тогда
   $$ \begin{cases} 2x+3y=12,\\ xy=6. \end{cases} $$
   Подставим $$y=\dfrac{6}{x}$$:
   $$ 2x+3\cdot \frac{6}{x}=12, $$
   $$ 2x^2+18=12x, $$
   $$ x^2-6x+9=0, $$
   $$ (x-3)^2=0,\quad x=3. $$
   Тогда
   $$ y=\frac{6}{3}=2. $$

2. б)

   Обозначим $$t=2^y$$. Тогда система имеет вид
   $$ \begin{cases} 3\log_2 x+t=5,\\ t+\log_2 x=5. \end{cases} $$
   Из второго уравнения:
   $$ \log_2 x=5-t. $$
   Подставим в первое:
   $$ 3(5-t)+t=5, $$
   $$ 15-3t+t=5, $$
   $$ 2t=10,\quad t=4. $$
   Тогда
   $$ 2^y=4,\quad y=2. $$
   Из $$\log_2 x=5-4=1$$ получаем
   $$ x=2. $$

3. в)

   Обозначим $$u=\sqrt[3]{x+y}$$. Тогда
   $$ \begin{cases} 3u=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2u=6. \end{cases} $$
   Из второго уравнения:
   $$ 2u=6-\log_2(x^2), $$
   $$ u=3-\frac12\log_2(x^2). $$
   Подставим в первое:
   $$ 3\left(3-\frac12\log_2(x^2)\right)=\log_2 16+\log_2(x^2). $$
   Так как $$\log_2 16=4$$, получаем
   $$ 9-\frac32\log_2(x^2)=4+\log_2(x^2), $$
   $$ \frac52\log_2(x^2)=5, $$
   $$ \log_2(x^2)=2, $$
   $$ x^2=4,\quad x=\pm 2. $$
   Найдём $$y$$:
   $$ u=3-\frac12\cdot 2=2, $$
   $$ \sqrt[3]{x+y}=2,\quad x+y=8. $$
   Тогда при $$x=-2$$ имеем $$y=10$$, а при $$x=2$$ имеем $$y=6$$.

4. г)

   Обозначим $$u=x-y$$, $$v=|2y-x|$$. Тогда система:
   $$ \begin{cases} 3u-7v=2,\\ v-3(u-1)=-2. \end{cases} $$
   Из второго уравнения:
   $$ v=3u-5. $$
   Подставим в первое:
   $$ 3u-7(3u-5)=2, $$
   $$ 3u-21u+35=2, $$
   $$ -18u=-33,\quad u=\frac{11}{6}. $$
   Тогда
   $$ v=3\cdot \frac{11}{6}-5=\frac12. $$
   Но
   $$ v=|2y-x|=|2(x-u)-x|=|x-2u|, $$
   поэтому
   $$ |x-\frac{11}{3}|=\frac12. $$
   Отсюда
   $$ x=\frac{11}{3}\pm \frac12. $$
   Полученные значения не дают целочисленных решений, поэтому проверим исходную запись по изображению: в ней система имеет вид
   $$ \begin{cases} 3^{x-y}-7|2y-x|=2,\\ |2y-x|-3^{x-y-1}=-2. \end{cases} $$
   Тогда из второго уравнения
   $$ |2y-x|=3^{x-y-1}-2. $$
   Подставим в первое:
   $$ 3^{x-y}-7(3^{x-y-1}-2)=2, $$
   $$ 3^{x-y}-\frac73\cdot 3^{x-y}+14=2, $$
   $$ \frac43\cdot 3^{x-y}=12, $$
   $$ 3^{x-y}=9,\quad x-y=2. $$
   Тогда
   $$ y=x-2. $$
   Подставим:
   $$ |2(x-2)-x|=3^{x-(x-2)-1}-2, $$
   $$ |x-4|=3^1-2=1. $$
   Значит,
   $$ x-4=-1 \quad \text{или} \quad x-4=1, $$
   $$ x=3 \quad \text{или} \quad x=5. $$
   Тогда
   $$ y=1 \quad \text{или} \quad y=3. $$

Ответ

а) $$ (3;2) $$; б) $$ (2;2) $$; в) $$ (-2;10),\ (2;6) $$; г) $$ (3;1),\ (5;3) $$.