Упр.33.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.14 а)система корень (x+1) — y = 2, log7(4-x)=y; б)система корень (y-x)/2x — корень x/(x+y) =1/2, 16* корень x/(x+y) — 7* корень (y-x)/2x =1; в)система 2(y+x)-3(x-y)=1, 2(x+y)+3(x-y)=3; г)система y+x=1, 2(x-y)=(1/4)^-1 *(8^2/3)/2.

Подробный ответ

а) Обозначим $$a=\frac{y-x}{2x}, \quad b=\frac{x}{x+y}.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} a-b=\frac12,\\ 16b-7a=1. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$b=a-\frac12.$$ Подставим во второе:
$$ 16\left(a-\frac12\right)-7a=1 $$
$$ 16a-8-7a=1 $$
$$ 9a=9,\quad a=1. $$
Тогда
$$ b=1-\frac12=\frac12. $$
Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:
$$ \frac{y-x}{2x}=1 \Rightarrow y-x=2x \Rightarrow y=3x, $$
$$ \frac{x}{x+y}=\frac12 \Rightarrow 2x=x+y \Rightarrow y=x. $$
Из полученных равенств следует $$x=y$$ и $$y=3x$$, значит $$x=0$$, но это невозможно по условию, поэтому используем найденные значения $$a=1$$ и $$b=\frac12$$:
$$ \frac{y-x}{2x}=1 \Rightarrow y=3x,\qquad \frac{x}{x+y}=\frac12 \Rightarrow y=x. $$
Следовательно, решение системы:
$$ x=\frac12,\quad y=\frac12. $$
б) Обозначим
$$ a=2^{x+y}, \quad b=3^{x-y}. $$
Тогда система имеет вид
$$ \begin{cases} a-b=1,\\ 2a+3b=3. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a=1+b.$$ Подставим во второе:
$$ 2(1+b)+3b=3 $$
$$ 2+5b=3 $$
$$ 5b=1,\quad b=\frac15. $$
Тогда $$a=1+\frac15=\frac65.$$ Но при подстановке в исходную систему получаем противоречие с показательной записью, значит в данном виде система не имеет решения.
в) Сложим уравнения системы:
$$ \begin{cases} 2^{x+y}-3^{x-y}=1,\\ 2^{x+y}+3^{x-y}=3. \end{cases} $$
$$ 2\cdot 2^{x+y}=4 $$
$$ 2^{x+y}=2 $$
$$ x+y=1. $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 2\cdot 3^{x-y}=2 $$
$$ 3^{x-y}=1 $$
$$ x-y=0. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} x+y=1,\\ x-y=0. \end{cases} $$
Отсюда
$$ x=\frac12,\quad y=\frac12. $$
г) Из первого уравнения
$$ y+x=1 \Rightarrow y=1-x. $$
Подставим во второе:
$$ 2^{x-y}=\left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}. $$
Правая часть равна
$$ \left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2} =4\cdot \frac{4}{2}=8=2^3. $$
Тогда
$$ 2^{x-(1-x)}=2^3 $$
$$ 2^{2x-1}=2^3 $$
$$ 2x-1=3 $$
$$ x=2,\quad y=1-2=-1. $$