Упр.33.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.29 а)система 2 корень 3y+x — корень 6y-x=x, корень 3y+x + корень 6y-x = 3y; б)система корень 2x-3y + корень 4x+3y=2x, 2 корень 2x-3y = (корень 4x+3y) — 3y.

а) Обозначим

$$a=\sqrt{3y+x}, \qquad b=\sqrt{6y-x}.$$

Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} 2a-b=x,\\ a+b=3y. \end{cases} $$

Из первого уравнения и второго, умноженного на 2, получаем:

$$ 2a+b=x+3y. $$

Складывая и вычитая уравнения системы, имеем:

$$ \begin{cases} 3a=3y+x,\\ 3b=6y-x. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} 3\sqrt{3y+x}=3y+x,\\ 3\sqrt{6y-x}=6y-x. \end{cases} $$

Положим

$$u=3y+x,\qquad v=6y-x.$$

Тогда

$$ \begin{cases} 3\sqrt{u}=u,\\ 3\sqrt{v}=v. \end{cases} $$

Отсюда

$$ u\in\{0,9\}, \qquad v\in\{0,9\}. $$

Рассмотрим все сочетания:

$$ \begin{cases} 3y+x=0,\\ 6y-x=0 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(0,0); $$

$$ \begin{cases} 3y+x=0,\\ 6y-x=9 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(-3,1); $$

$$ \begin{cases} 3y+x=9,\\ 6y-x=0 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(6,1); $$

$$ \begin{cases} 3y+x=9,\\ 6y-x=9 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(3,2). $$

б) Аналогично введём

$$a=\sqrt{2x-3y}, \qquad b=\sqrt{4x+3y}.$$

Тогда система равносильна системе

$$ \begin{cases} 3a=2x-3y,\\ 3b=4x+3y. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ \begin{cases} 3\sqrt{2x-3y}=2x-3y,\\ 3\sqrt{4x+3y}=4x+3y. \end{cases} $$

Значит,

$$ 2x-3y\in\{0,9\}, \qquad 4x+3y\in\{0,9\}. $$

Решая полученные системы, получаем:

$$ (0,0), \quad \left(\frac32,-2\right), \quad \left(\frac32,1\right), \quad (3,-1). $$

Ответ

а) $$(-3;1),\ (0;0),\ (3;2),\ (6;1)$$

б) $$ (0;0),\ \left(\frac32;-2\right),\ \left(\frac32;1\right),\ (3;-1) $$