Упр.33.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$$ Тогда
$$t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}.$$
Умножим на $$3t$$:
$$ 3t^2-10t+3=0. $$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
поэтому
$$ t_1=\frac{10-8}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}, \qquad t_2=\frac{10+8}{2\cdot 3}=3. $$
Из второго уравнения системы:
$$x+2y=9,\qquad x=9-2y.$$
1) Если $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{1}{3},$$ то
$$ \sqrt{9-2y}+\sqrt{y}=\frac{1}{3}. $$
Возведём в квадрат:
$$ 9-2y+2\sqrt{y(9-2y)}+y=\frac{1}{9}, $$
откуда
$$ 2\sqrt{y(9-2y)}=y-\frac{80}{9}. $$
Левая часть неотрицательна, значит $$y\ge \frac{80}{9},$$ но при этом $$9-2y\ge 0,$$ то есть $$y\le \frac{9}{2}.$$ Противоречие, значит этот случай решений не даёт.
2) Если $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=3,$$ то
$$ \sqrt{9-2y}+\sqrt{y}=3. $$
Возведём в квадрат:
$$ 9-2y+2\sqrt{y(9-2y)}+y=9, $$
$$ 2\sqrt{y(9-2y)}=y. $$
Тогда
$$ 4y(9-2y)=y^2, $$
$$ 36y-8y^2=y^2, $$
$$ 9y^2-36y=0, $$
$$ 9y(y-4)=0. $$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=4.$$ Тогда
$$ x=9-2y. $$
При $$y=0$$ получаем $$x=9$$, при $$y=4$$ получаем $$x=1$$.
б) Обозначим $$t=\sqrt{x}+2\sqrt{y}.$$ Тогда
$$ t+\frac{1}{t}=\frac{65}{8}. $$
Умножим на $$8t$$:
$$ 8t^2-65t+8=0. $$
$$D=65^2-4\cdot 8\cdot 8=3969,$$
поэтому
$$ t_1=\frac{65-63}{2\cdot 8}=\frac{1}{8}, \qquad t_2=\frac{65+63}{2\cdot 8}=8. $$
Из первого уравнения:
$$3x-y=3,\qquad y=3x-3.$$
1) Если $$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\frac{1}{8},$$ то
$$ \sqrt{x}+2\sqrt{3x-3}=\frac{1}{8}. $$
Правая часть слишком мала, а левая неотрицательна; при допустимых значениях $$x\ge 1$$ левая часть не может быть равна $$\frac{1}{8}.$$ Значит, решений нет.
2) Если $$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=8,$$ то
$$ \sqrt{x}+2\sqrt{3x-3}=8. $$
Возведём в квадрат:
$$ x+4\sqrt{x(3x-3)}+4(3x-3)=64, $$
$$ 4\sqrt{x(3x-3)}=76-13x. $$
Возведём в квадрат ещё раз:
$$ 16x(3x-3)=(76-13x)^2, $$
$$ 48x^2-48x=5776-1976x+169x^2, $$
$$ 121x^2-1928x+5776=0. $$
$$D=1928^2-4\cdot 121\cdot 5776=921600,$$
поэтому
$$ x_1=\frac{1928-960}{2\cdot 121}=4,\qquad x_2=\frac{1928+960}{2\cdot 121}=\frac{1444}{121}. $$
С учётом условия $$76-13x\ge 0$$ подходит только $$x=4.$$ Тогда
$$ y=3x-3=9. $$