Упр.33.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Пусть $$t=\sqrt{\frac{x}{y}}, \quad t>0.$$ Тогда $$\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{1}{t}.$$
Из первого уравнения получаем:
$$t+\frac{1}{t}=\frac{3}{\sqrt{2}}.$$
Умножим на $$t\sqrt{2}$$:
$$ \sqrt{2}\,t^2-3t+\sqrt{2}=0. $$
Дискриминант:
$$ D=9-4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=9-8=1. $$
$$ t_{1,2}=\frac{3\pm1}{2\sqrt{2}}. $$
Отсюда:
$$ t_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad t_2=\sqrt{2}. $$
1) Если $$t=\frac{1}{\sqrt{2}}$$, то
$$ \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{2} \Rightarrow y=2x. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{x}+\sqrt{2x}=\sqrt{2}+1. $$
$$ \sqrt{x}(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}+1. $$
Следовательно, $$\sqrt{x}=1$$, значит $$x=1$$, $$y=2$$.
2) Если $$t=\sqrt{2}$$, то
$$ \sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{2} \Rightarrow \frac{x}{y}=2 \Rightarrow x=2y. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{2y}+\sqrt{y}=\sqrt{2}+1. $$
$$ \sqrt{y}(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1. $$
Следовательно, $$\sqrt{y}=1$$, значит $$y=1$$, $$x=2$$.
Пусть $$t=\sqrt{\frac{y}{x}}, \quad t>0.$$ Тогда $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{1}{t}.$$
Из первого уравнения:
$$ t-\frac{2}{t}=1. $$
Умножим на $$t$$:
$$ t^2-t-2=0. $$
$$ D=1+8=9,\quad t_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}. $$
$$ t_1=2,\quad t_2=-1. $$
Так как $$t>0$$, то $$t=2$$.
$$ \sqrt{\frac{y}{x}}=2 \Rightarrow \frac{y}{x}=4 \Rightarrow y=4x. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{5x+4x}+\sqrt{5x-4x}=4. $$
$$ 3\sqrt{x}+\sqrt{x}=4 $$
$$ 4\sqrt{x}=4 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1. $$
Тогда $$y=4$$.