Упр.33.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) Обозначим
$$u=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}, \quad u>0.$$
Тогда из первого уравнения системы получаем
$$u+2=\frac{3}{u}.$$
Умножим на $$u$$:
$$u^2+2u=3,$$
$$u^2+2u-3=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$
$$u_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad u_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$
Так как $$u>0,$$ то подходит только $$u=1.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}=1,$$
$$x+3y=y+5,$$
$$x=5-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$y(5-2y)+2(5-2y)=13-4y,$$
$$5y-2y^2+10-4y=13-4y,$$
$$2y^2-5y+3=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 3=1,$$
$$y_1=\frac{5-1}{4}=1,\quad y_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}.$$
Тогда
$$x=5-2y,$$
$$x_1=5-2\cdot 1=3,\quad x_2=5-2\cdot \frac{3}{2}=2.$$
Получаем решения:
$$ (3;1),\ (2;\tfrac{3}{2}). $$
б) Обозначим
$$u=\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}, \quad u>0.$$
Тогда из второго уравнения системы
$$u+\frac{3}{u}=4.$$
Умножим на $$u$$:
$$u^2-4u+3=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 3=4,$$
$$u_1=\frac{4-2}{2}=1,\quad u_2=\frac{4+2}{2}=3.$$
1) Если $$u=1$$, то
$$\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}=1,$$
$$x+y=x-y,$$
$$y=0.$$
Из первого уравнения:
$$x^2+4x-y^2-3y=0,$$
$$x^2+4x=0,$$
$$x(x+4)=0.$$
С учётом области определения $$x\ne y$$ получаем точки:
$$(-4;0),\ (0;0).$$
2) Если $$u=3$$, то
$$\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}=3,$$
$$\frac{x+y}{x-y}=9,$$
$$x+y=9x-9y,$$
$$10y=8x,$$
$$y=\frac{4x}{5}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+4x-\left(\frac{4x}{5}\right)^2-3\cdot \frac{4x}{5}=0,$$
$$x^2+4x-\frac{16x^2}{25}-\frac{12x}{5}=0,$$
$$9x^2+40x=0,$$
$$x(9x+40)=0.$$
Отсюда
$$x_1=-\frac{40}{9},\quad x_2=0.$$
Тогда
$$y_1=\frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{40}{9}\right)=-\frac{32}{9},\quad y_2=0.$$
С учётом области определения $$x\ne y$$ и $$x\ne -y$$ получаем точку
$$\left(-\frac{40}{9};-\frac{32}{9}\right).$$
в) Обозначим
$$u=\sqrt{\frac{y}{x}}, \quad u>0.$$
Тогда из первого уравнения
$$u^2+u-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$u_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad u_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$
Подходит только $$u=1.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{y}{x}}=1,$$
$$y=x.$$
Из второго уравнения:
$$\sqrt{5x+4x}+\sqrt{5x-4x}=4,$$
$$\sqrt{9x}+\sqrt{x}=4,$$
$$3\sqrt{x}+\sqrt{x}=4,$$
$$4\sqrt{x}=4,$$
$$\sqrt{x}=1,$$
$$x=1,\quad y=1.$$
Ответ
а) $$ (3;1),\ (2;\tfrac{3}{2}) $$; б) $$(-4;0),\ (0;0),\ \left(-\frac{40}{9};-\frac{32}{9}\right)$$; в) $$(1;1).$$
