Упр.33.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Обозначим $$u=\sqrt[3]{x}, \quad v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} u+v=5,\\ uv=\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{216}=6. \end{cases} $$

Значит, числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения

$$ t^2-5t+6=0. $$

Решаем:

$$ t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0, $$

откуда $$t=2$$ или $$t=3$$.

Тогда

$$ \sqrt[3]{x}=2,\ \sqrt[3]{y}=3 \quad \Rightarrow \quad x=8,\ y=27; $$

или

$$ \sqrt[3]{x}=3,\ \sqrt[3]{y}=2 \quad \Rightarrow \quad x=27,\ y=8. $$

б) Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}, \quad v=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда

$$ \begin{cases} u-v=1,\\ uv=\sqrt[4]{xy}=\sqrt[4]{16}=2. \end{cases} $$

Из системы получаем

$$ v=u-1,\qquad u(u-1)=2. $$

Тогда

$$ u^2-u-2=0, $$

$$ (u-2)(u+1)=0. $$

Так как $$u=\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ то $$u=-1$$ не подходит, значит $$u=2$$. Тогда

$$ x=u^4=16,\qquad y=v^4=(2-1)^4=1. $$

Ответ

а) $$ (8;27),\ (27;8) $$; б) $$ (16;1) $$.