Упр.33.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.2 а)система x+y=Пи/4, sinxsiny=-1/2корень 2; б)система 3x=y+1, 7(y-2x+2)=7(y-4x+1)+6; в)система x=2y, log1/3(2y+x)+log1/3(x-y+1)=log3(1/(y+1)); г)система корень 7-6x-y2 = y+5, y=x-1.

1. $$ \begin{cases} x+y=\dfrac{\pi}{4},\\ \sin x\cdot \sin y=-\dfrac{1}{2\sqrt2} \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$y=\dfrac{\pi}{4}-x.$$

   Используем формулу

   $$2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y).$$

   Тогда

   $$ 2\sin x\sin y=-\dfrac{\sqrt2}{2}, $$

   значит

   $$ \cos(x-y)-\cos(x+y)=-\dfrac{\sqrt2}{2}. $$

   Подставим $$x+y=\dfrac{\pi}{4}$$:

   $$ \cos(x-y)-\dfrac{\sqrt2}{2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}, $$

   откуда

   $$\cos(x-y)=0.$$

   Следовательно,

   $$x-y=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Решаем систему

   $$ \begin{cases} x+y=\dfrac{\pi}{4},\\ x-y=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \end{cases} $$

   Складывая уравнения, получаем

   $$ 2x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{2}. $$

   Тогда

   $$ y=\dfrac{\pi}{4}-x=-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi n}{2}. $$

2. $$ \begin{cases} 3x=y+1,\\ 7(y-2x+2)=7(y-4x+1)+6 \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$y=3x-1.$$

   Подставим во второе:

   $$ 7(3x-1-2x+2)=7(3x-1-4x+1)+6. $$

   Упростим:

   $$ 7(x+1)=7(-x)+6, $$

   $$ 7x+7=-7x+6, $$

   $$ 14x=-1,\qquad x=-\dfrac{1}{14}. $$

   Тогда

   $$ y=3\left(-\dfrac{1}{14}\right)-1=-\dfrac{17}{14}. $$

3. $$ \begin{cases} x=2y,\\ \log_{\frac13}(2y+x)+\log_{\frac13}(x-y+1)=\log_3\dfrac{1}{y+1} \end{cases} $$

   Подставим $$x=2y$$ во второе уравнение:

   $$ \log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_3\dfrac{1}{y+1}. $$

   Так как $$\log_{\frac13} a=-\log_3 a,$$ получаем

   $$ -\log_3(4y)-\log_3(y+1)=-\log_3(y+1). $$

   Отсюда

   $$ \log_3(4y)+\log_3(y+1)=\log_3(y+1), $$

   $$ \log_3(4y(y+1))=\log_3(y+1). $$

   Значит,

   $$ 4y(y+1)=y+1, $$

   $$ (4y-1)(y+1)=0. $$

   С учётом области определения $$y>0$$ и $$y>-1$$ получаем

   $$y=\dfrac14.$$

   Тогда

   $$x=2y=\dfrac12.$$

4. $$ \begin{cases} \sqrt{7-6x-y^2}=y+5,\\ y=x-1 \end{cases} $$

   Подставим $$y=x-1$$ в первое уравнение:

   $$ \sqrt{7-6x-(x-1)^2}=x+4. $$

   Возведём в квадрат:

   $$ 7-6x-(x-1)^2=(x+4)^2. $$

   $$ 7-6x-x^2+2x-1=x^2+8x+16, $$

   $$ 2x^2+12x+10=0, $$

   $$ x^2+6x+5=0, $$

   $$ (x+1)(x+5)=0. $$

   Отсюда $$x=-1$$ или $$x=-5$$.

   Проверим область определения: $$x+4\ge 0,$$ значит $$x\ge -4.$$

   Подходит только $$x=-1$$. Тогда

   $$y=x-1=-2.$$

Ответ

а) $$\left(\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{2};\,-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z$$; б) $$\left(-\dfrac{1}{14};\,-\dfrac{17}{14}\right)$$; в) $$\left(\dfrac12;\,\dfrac14\right)$$; г) $$(-1;\,-2)$$.