Упр.33.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Пусть $$z=x+y$$, $$m=xy$$. Тогда из системы
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=12,\qquad \frac1x+\frac1y=\frac13$$
получаем
$$\frac{x^3+y^3}{xy}=12,\qquad \frac{x+y}{xy}=\frac13.$$
Так как $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$ то
$$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=12.$$
Из второго уравнения $$xy=3(x+y)$$, значит
$$\frac{x^2-xy+y^2}{3}=12,$$
откуда
$$x^2-xy+y^2=36.$$
Подставим $$xy=3(x+y)$$:
$$x^2-3(x+y)+y^2=36.$$
Обозначим $$z=x+y$$. Тогда $$xy=3z$$ и
$$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=z^2-9z.$$
Получаем уравнение
$$z^2-9z-36=0.$$
$$D=81+144=225,$$
$$z_1=\frac{9-15}{2}=-3,\qquad z_2=\frac{9+15}{2}=12.$$
1) Если $$x+y=-3,$$ то $$xy=-9.$$ Тогда
$$t^2+3t-9=0,$$
$$D=9+36=45,$$
$$t=\frac{-3\pm\sqrt{45}}{2}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{-3+\sqrt{45}}{2},\frac{-3-\sqrt{45}}{2}\right),\quad \left(\frac{-3-\sqrt{45}}{2},\frac{-3+\sqrt{45}}{2}\right).$$
2) Если $$x+y=12,$$ то $$xy=36.$$ Тогда
$$t^2-12t+36=0,$$
$$\left(t-6\right)^2=0,\qquad t=6.$$
Значит, $$x=6,\ y=6.$$
Пусть $$z=x+y$$, $$m=xy$$. Тогда из системы
$$xy(x+y)=20,\qquad \frac1x+\frac1y=\frac54$$
получаем
$$mz=20,\qquad \frac{x+y}{xy}=\frac54.$$
Из второго уравнения
$$\frac{z}{m}=\frac54,\qquad m=\frac45z.$$
Подставим в первое:
$$\frac45z\cdot z=20,$$
$$z^2=25,$$
$$z=5 \text{ или } z=-5.$$
1) Если $$x+y=-5,$$ то $$xy=\frac45\cdot(-5)=-4.$$ Тогда
$$t^2+5t-4=0,$$
$$D=25+16=41,$$
$$t=\frac{-5\pm\sqrt{41}}{2}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{-5+\sqrt{41}}{2},\frac{-5-\sqrt{41}}{2}\right),\quad \left(\frac{-5-\sqrt{41}}{2},\frac{-5+\sqrt{41}}{2}\right).$$
2) Если $$x+y=5,$$ то $$xy=\frac45\cdot 5=4.$$ Тогда
$$t^2-5t+4=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=4.$$
Значит, $$\left(x,y\right)=(1,4)$$ или $$\left(x,y\right)=(4,1).$$
Ответ
а) $$\left(6;6\right),\ \left(\frac{-3+\sqrt{45}}{2};\frac{-3-\sqrt{45}}{2}\right),\ \left(\frac{-3-\sqrt{45}}{2};\frac{-3+\sqrt{45}}{2}\right).$$
б) $$\left(1;4\right),\ \left(4;1\right),\ \left(\frac{-5+\sqrt{41}}{2};\frac{-5-\sqrt{41}}{2}\right),\ \left(\frac{-5-\sqrt{41}}{2};\frac{-5+\sqrt{41}}{2}\right).$$
