Упр.33.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.22 а)система x-2xy+y=-17, x2+y2=25; б)система x+y+x2+y2=18, xy+x2+y2=19.

Обозначим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2b.$$

а) Имеем систему

$$ \begin{cases} x-2xy+y=-17,\\ x^2+y^2=25. \end{cases} $$

Первое уравнение перепишем через $$a$$ и $$b$$:

$$a-2b=-17.$$

Из второго уравнения:

$$a^2-2b=25.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ a^2-a=42 $$

$$ a^2-a-42=0 $$

$$ (a-7)(a+6)=0 $$

Отсюда $$a=7$$ или $$a=-6$$.

1) Если $$a=7$$, то из $$a-2b=-17$$ получаем $$7-2b=-17$$, значит $$b=12$$. Тогда

$$ \begin{cases} x+y=7,\\ xy=12. \end{cases} $$

Корни уравнения $$t^2-7t+12=0$$: $$t=3$$ и $$t=4$$. Значит, получаем пары $$ (3;4) $$ и $$ (4;3) $$.

2) Если $$a=-6$$, то из $$a-2b=-17$$ получаем $$-6-2b=-17$$, значит $$b=\dfrac{11}{2}.$$ Тогда

$$ \begin{cases} x+y=-6,\\ xy=\dfrac{11}{2}. \end{cases} $$

Корни уравнения $$t^2+6t+\dfrac{11}{2}=0$$:

$$ t=\frac{-6\pm\sqrt{36-22}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{14}}{2}. $$

Следовательно, ещё две пары решений:

$$ \left(\frac{-6-\sqrt{14}}{2};\frac{-6+\sqrt{14}}{2}\right),\quad \left(\frac{-6+\sqrt{14}}{2};\frac{-6-\sqrt{14}}{2}\right). $$

б) Имеем систему

$$ \begin{cases} x+y+x^2+y^2=18,\\ xy+x^2+y^2=19. \end{cases} $$

Подставим $$x^2+y^2=a^2-2b$$:

$$ \begin{cases} a+a^2-2b=18,\\ b+a^2-2b=19. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$a^2-b=19,$$

то есть $$b=a^2-19.$$ Подставим в первое:

$$ a+a^2-2(a^2-19)=18 $$

$$ -a^2+a+20=0 $$

$$ a^2-a-20=0 $$

$$ (a-5)(a+4)=0 $$

Отсюда $$a=5$$ или $$a=-4$$.

1) Если $$a=5$$, то $$b=5^2-19=6$$. Тогда

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} $$

Корни уравнения $$t^2-5t+6=0$$: $$t=2$$ и $$t=3$$. Получаем пары $$ (2;3) $$ и $$ (3;2) $$.

2) Если $$a=-4$$, то $$b=(-4)^2-19=-3$$. Тогда

$$ \begin{cases} x+y=-4,\\ xy=-3. \end{cases} $$

Корни уравнения $$t^2+4t-3=0$$:

$$ t=\frac{-4\pm\sqrt{16+12}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2}=-2\pm\sqrt7. $$

Значит, ещё две пары решений:

$$ (-2-\sqrt7;\,-2+\sqrt7),\quad (-2+\sqrt7;\,-2-\sqrt7). $$

Ответ

а) $$ (3;4),\ (4;3),\ \left(\frac{-6-\sqrt{14}}{2};\frac{-6+\sqrt{14}}{2}\right),\ \left(\frac{-6+\sqrt{14}}{2};\frac{-6-\sqrt{14}}{2}\right). $$
б) $$ (2;3),\ (3;2),\ (-2-\sqrt7;\,-2+\sqrt7),\ (-2+\sqrt7;\,-2-\sqrt7). $$