Упр.33.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.21 а)система x2+3xy+y2=-1, 2×2-3xy-3y2=-4; б)система x2+xy+4y2=6, 3×2+8y2=14.

а) Умножим первое уравнение на $$4$$ и сложим со вторым:

$$ \begin{aligned} x^2+3xy+y^2&=-1,\\ 2x^2-3xy-3y^2&=-4. \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 4x^2+12xy+4y^2&=-4,\\ 2x^2-3xy-3y^2&=-4. \end{aligned} $$
$$ 2x^2+15xy+7y^2=0. $$

Получили однородное уравнение. Рассмотрим его как квадратное относительно $$x$$:

$$ 2x^2+15yx+7y^2=0. $$
$$ D=(15y)^2-4\cdot 2\cdot 7y^2=225y^2-56y^2=169y^2. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-15y\pm 13y}{4}. $$

Тогда

$$ x_1=-7y,\qquad x_2=-\frac{y}{2}. $$

1) Если $$x=-7y$$, то из первого уравнения:

$$ (-7y)^2+3(-7y)y+y^2=-1, $$
$$ 49y^2-21y^2+y^2=-1, $$
$$ 29y^2=-1, $$

что невозможно.

2) Если $$x=-\frac{y}{2}$$, то

$$ \left(-\frac{y}{2}\right)^2+3\left(-\frac{y}{2}\right)y+y^2=-1, $$
$$ \frac{y^2}{4}-\frac{3y^2}{2}+y^2=-1, $$
$$ -\frac{y^2}{4}=-1, $$
$$ y^2=4. $$

Значит, $$y=\pm 2$$. Тогда

$$ x=-\frac{y}{2}. $$

При $$y=2$$ получаем $$x=-1$$, при $$y=-2$$ получаем $$x=1$$.

б) Умножим первое уравнение на $$7$$, а второе на $$3$$ и вычтем:

$$ \begin{aligned} x^2+xy+4y^2&=6,\\ 3x^2+8y^2&=14. \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 7x^2+7xy+28y^2&=42,\\ 9x^2+24y^2&=42. \end{aligned} $$
$$ -2x^2+7xy+4y^2=0. $$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$x$$:

$$ 2x^2-7yx-4y^2=0. $$
$$ D=(7y)^2+4\cdot 2\cdot 4y^2=49y^2+32y^2=81y^2. $$
$$ x_{1,2}=\frac{7y\pm 9y}{4}. $$

Тогда

$$ x_1=-\frac{y}{2},\qquad x_2=4y. $$

1) Если $$x=-\frac{y}{2}$$, то из второго уравнения:

$$ 3\left(-\frac{y}{2}\right)^2+8y^2=14, $$
$$ \frac{3y^2}{4}+8y^2=14, $$
$$ \frac{35y^2}{4}=14, $$
$$ y^2=\frac{56}{35}=\frac{8}{5}. $$

Тогда

$$ y=\pm \frac{2\sqrt{10}}{5},\qquad x=-\frac{y}{2}=\mp \frac{\sqrt{10}}{5}. $$

2) Если $$x=4y$$, то из второго уравнения:

$$ 3(4y)^2+8y^2=14, $$
$$ 48y^2+8y^2=14, $$
$$ 56y^2=14, $$
$$ y^2=\frac14. $$

Значит, $$y=\pm \frac12$$, а тогда $$x=4y=\pm 2$$.

Ответ

а) $$(-1; 2),\ (1; -2)$$;
б) $$(-2; -\tfrac12),\ (2; \tfrac12),\ \left(-\tfrac{\sqrt{10}}{5}; \tfrac{2\sqrt{10}}{5}\right),\ \left(\tfrac{\sqrt{10}}{5}; -\tfrac{2\sqrt{10}}{5}\right)$$.