Упр.33.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.20 а)система 2×2+xy-y2=0, y2-3xy=16; б)система 3×2-xy=10×2, x2-2xy+y2=4.

а) Рассмотрим первое уравнение как однородное:

$$2x^2+xy-y^2=0.$$

Если $$y\neq 0,$$ разделим на $$y^2$$:

$$2\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}-1=0.$$

Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда

$$2t^2+t-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$t_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

Значит, либо $$x=-y,$$ либо $$y=2x.$$

1) Если $$x=-y,$$ то из второго уравнения

$$y^2-3xy=16$$

получаем

$$y^2-3(-y)\,y=16,$$

$$4y^2=16,$$

$$y=\pm 2.$$

Тогда $$x=\mp 2,$$ то есть получаем точки $$(-2;2)$$ и $$(2;-2).$$

2) Если $$y=2x,$$ то из второго уравнения

$$y^2-3xy=16$$

получаем

$$4x^2-6x^2=16,$$

$$-2x^2=16,$$

что невозможно.

б) Первое уравнение системы:

$$3x^2-xy=10y^2.$$

Если $$y\neq 0,$$ разделим на $$y^2$$:

$$3\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}-10=0.$$

Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда

$$3t^2-t-10=0,$$

$$D=1+120=121,$$

$$t_1=\frac{1-11}{6}=-\frac53,\qquad t_2=\frac{1+11}{6}=2.$$

Значит, либо $$x=-\frac53y,$$ либо $$x=2y.$$

Из второго уравнения:

$$x^2-2xy+y^2=4,$$

$$\left(x-y\right)^2=4,$$

$$x-y=\pm 2.$$

1) Если $$x=-\frac53y,$$ то

$$-\frac53y-y=\pm 2,$$

$$-\frac83y=\pm 2,$$

$$y=\mp \frac34,$$

$$x=-\frac53\cdot\left(\mp \frac34\right)=\pm \frac54.$$

Получаем точки $$\left(\frac54;-\frac34\right)$$ и $$\left(-\frac54;\frac34\right).$$

2) Если $$x=2y,$$ то

$$2y-y=\pm 2,$$

$$y=\pm 2,$$

$$x=2y=\pm 4.$$

Получаем точки $$(4;2)$$ и $$(-4;-2).$$

Ответ

а) $$(-2;2),\ (2;-2).$$

б) $$(-4;-2),\ (4;2),\ \left(-\frac54;\frac34\right),\ \left(\frac54;-\frac34\right).$$