Упр.33.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Пусть $$t=\dfrac{x}{y}.$$ Тогда из первого уравнения системы
$$t-ty=-9.$$
Из второго уравнения:
$$2ty-\dfrac{3y}{x}=23.$$
Так как $$t=\dfrac{x}{y},$$ то $$\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{t}.$$ Получаем систему
$$ \begin{cases} t-ty=-9,\\ 2ty-\dfrac{3}{t}=23. \end{cases} $$
Удобнее выразить $$xy$$ из первого уравнения:
$$\dfrac{x}{y}-xy=-9 \;\Rightarrow\; xy=\dfrac{x}{y}+9.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ 2\left(\dfrac{x}{y}+9\right)-\dfrac{3y}{x}=23, $$
$$ \dfrac{2x}{y}-\dfrac{3y}{x}=5. $$
Умножим на $$xy$$:
$$2x^2-3y^2=5xy,$$
$$2x^2-5xy-3y^2=0.$$
Решим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$D=25y^2+24y^2=49y^2,$$
$$x_{1,2}=\dfrac{5y\pm 7y}{4}.$$
Тогда
$$x_1=3y,\qquad x_2=-\dfrac{y}{2}.$$
1) Если $$x=3y,$$ то из $$\dfrac{x}{y}-xy=-9$$ получаем
$$3-3y^2=-9,$$
$$y^2=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Тогда $$x=3y,$$ значит
$$(-6;\,-2),\quad (6;\,2).$$
2) Если $$x=-\dfrac{y}{2},$$ то
$$-\dfrac12+\dfrac{y^2}{2}=-9,$$
$$y^2=-17,$$
что невозможно в действительных числах.
Пусть $$a=\dfrac{x}{y},\quad b=\dfrac{x+y}{x-y}.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} b+a=-\dfrac56,\\ ba=\dfrac16. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a=-\dfrac56-b.$$ Подставим во второе:
$$b\left(-\dfrac56-b\right)=\dfrac16,$$
$$6b^2+5b+1=0.$$
$$D=25-24=1,$$
$$b_{1,2}=\dfrac{-5\pm 1}{12}.$$
Отсюда
$$b_1=-\dfrac13,\qquad b_2=-\dfrac12.$$
Если $$b=-\dfrac13,$$ то
$$\dfrac{x+y}{x-y}=-\dfrac13,$$
$$3x+3y=-x+y,$$
$$4x+2y=0,$$
$$y=-2x.$$
Если $$b=-\dfrac12,$$ то
$$\dfrac{x+y}{x-y}=-\dfrac12,$$
$$2x+2y=-x+y,$$
$$3x+y=0,$$
$$y=-3x.$$
Обе зависимости удовлетворяют системе при $$x\ne 0$$.