Упр.33.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: 33.13 а)система y+2x=3, x2+y2=2; б)система x4-y4=15, x4+y4=17; в)система 2sin(x+y)-3cos(x-y)=5, 7cos(x-y)+5sin(x+y)=-2; г)система y/9=(1/3)x, y=log2(x)

1. а)
   Обозначим
   $$u=x^3y^5,\quad v=x^5y^3.$$
   Тогда система принимает вид
   $$\begin{cases} u=32,\\ v=8. \end{cases}$$
   Делим первое уравнение на второе:
   $$\frac{x^3y^5}{x^5y^3}=\frac{32}{8},$$
   $$\frac{y^2}{x^2}=4,$$
   $$y=\pm 2x.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^5(\pm 2x)^3=8,$$
   $$\pm 8x^8=8,$$
   $$x^8=1.$$
   Отсюда
   $$x=\pm 1.$$
   Тогда
   $$y=\pm 2x,$$
   и получаем пары
   $$(1;2),\;(-1;-2).$$

2. б)
   Введём обозначения
   $$u=(x+2y)^3,\quad v=(x-2y)^3.$$
   Тогда система равносильна
   $$\begin{cases} uv=9,\\ \dfrac{u}{v}=-\dfrac{1}{3}. \end{cases}$$
   Удобнее положить
   $$t=x+2y,\quad m=x-2y.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} t^3m^2=9,\\ m^3t^2=-27. \end{cases}$$
   Делим второе уравнение на первое:
   $$\frac{m^3t^2}{t^3m^2}=\frac{-27}{9},$$
   $$\frac{m}{t}=-3,$$
   $$m=-3t.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$t^3(-3t)^2=9,$$
   $$9t^5=9,$$
   $$t^5=1,$$
   $$t=1.$$
   Тогда
   $$m=-3.$$
   Получаем систему
   $$\begin{cases} x+2y=1,\\ x-2y=-3. \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x=-2,$$
   $$x=-1.$$
   Подставляем:
   $$-1+2y=1,$$
   $$2y=2,$$
   $$y=1.$$

3. в)
   Обозначим
   $$u=\sin(x+y),\quad v=\cos(x-y).$$
   Тогда система:
   $$\begin{cases} 2u-3v=5,\\ 5u+7v=-2. \end{cases}$$
   Решим её. Умножим первое уравнение на $5$, второе на $2$:
   $$\begin{cases} 10u-15v=25,\\ 10u+14v=-4. \end{cases}$$
   Вычтем второе из первого:
   $$-29v=29,$$
   $$v=-1.$$
   Тогда из первого уравнения:
   $$2u-3(-1)=5,$$
   $$2u=2,$$
   $$u=1.$$
   Значит,
   $$\sin(x+y)=1,\quad \cos(x-y)=-1.$$
   Отсюда
   $$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x-y=\pi+2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.$$
   Решая систему относительно $x$ и $y$, получаем
   $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi(k+n),\quad y=-\frac{\pi}{4}+\pi(k-n),\quad k,n\in\mathbb Z.$$

4. г)
   Из первого уравнения:
   $$\frac{y}{9}=\frac{1}{3}x,$$
   $$y=3x.$$
   Подставим во второе:
   $$3x=\log_2 x.$$
   Рассмотрим функцию
   $$f(x)=\log_2 x-3x,\quad x>0.$$
   Проверим значение $x=\frac12$:
   $$\log_2\frac12=-1,\quad 3\cdot\frac12=\frac32,$$
   равенство не выполняется.
   Проверим $x=1$:
   $$\log_2 1=0,\quad 3\cdot 1=3,$$
   тоже не подходит.
   Заметим, что при $x=\frac14$:
   $$\log_2\frac14=-2,\quad 3\cdot\frac14=\frac34,$$
   не подходит.
   Уравнение $3x=\log_2 x$ не имеет решений, так как при $x>0$ левая часть растёт линейно, а правая — логарифмически, и графики не пересекаются.

Ответ

а) $(-1;-2),\ (1;2)$;
б) $(-1;1)$;
в) $x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi(k+n),\ y=-\dfrac{\pi}{4}+\pi(k-n),\ k,n\in\mathbb Z$;
г) решений нет.