Упр.33.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.16 а)система x2+y2=13, x4-y4=65; б)система 2×4=x2y2+1, 3×4=x2y2+2.

Подробный ответ

а)

Из второго уравнения:
$$ x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=65. $$
Так как $$x^2+y^2=13,$$ то
$$ 13(x^2-y^2)=65, $$
откуда
$$ x^2-y^2=5. $$
Решим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x^2-y^2=5. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 2x^2=18,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3. $$
Тогда
$$ y^2=13-9=4,\quad y=\pm 2. $$
Получаем пары:
$$ (-3,-2),\ (-3,2),\ (3,-2),\ (3,2). $$

б)

Вычтем второе уравнение из первого:
$$ 2x^4-3x^4=(x^2y^2+1)-(x^2y^2+2), $$
$$ -x^4=-1,\quad x^4=1,\quad x=\pm 1. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2\cdot 1=x^2y^2+1, $$
$$ x^2y^2=1. $$
Так как $$x^2=1,$$ то
$$ y^2=1,\quad y=\pm 1. $$
Получаем пары:
$$ (-1,-1),\ (-1,1),\ (1,-1),\ (1,1). $$