Упр.33.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: 33.15 а)система (2x+y)(x+3y)=48, (2x+y)/(x+3y) = 3/4; б)система (x-3)/(y+2) = 4, (x-3)2+(y+2)2=17.

а) Обозначим $$u=2x+y,$$ $$t=x+3y.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} ut=48,\\ \dfrac{u}{t}=\dfrac{3}{4}. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$u=\dfrac{3t}{4}.$$ Подставим в первое:

$$ \dfrac{3t}{4}\cdot t=48, $$

$$ 3t^2=192, $$

$$ t^2=64,\quad t=\pm 8. $$

Тогда

$$ u=\dfrac{3t}{4}=\pm 6. $$

1) Если $$u=-6,$$ $$t=-8,$$ то

$$ \begin{cases} 2x+y=-6,\\ x+3y=-8. \end{cases} $$

Из первого $$y=-2x-6.$$ Подставим во второе:

$$ x+3(-2x-6)=-8, $$

$$ -5x=10,\quad x=-2, $$

$$ y=-2\cdot(-2)-6=-2. $$

2) Если $$u=6,$$ $$t=8,$$ то

$$ \begin{cases} 2x+y=6,\\ x+3y=8. \end{cases} $$

Из первого $$y=6-2x.$$ Подставим во второе:

$$ x+3(6-2x)=8, $$

$$ -5x=-10,\quad x=2, $$

$$ y=6-2\cdot 2=2. $$

б) Обозначим $$u=x-3,$$ $$t=y+2.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} \dfrac{u}{t}=4,\\ u^2+t^2=17. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=4t.$$ Подставим во второе:

$$ (4t)^2+t^2=17, $$

$$ 16t^2+t^2=17, $$

$$ 17t^2=17,\quad t^2=1,\quad t=\pm 1. $$

Тогда $$u=4t=\pm 4.$$

1) Если $$u=4,$$ $$t=1,$$ то

$$ x-3=4,\quad y+2=1, $$

$$ x=7,\quad y=-1. $$

2) Если $$u=-4,$$ $$t=-1,$$ то

$$ x-3=-4,\quad y+2=-1, $$

$$ x=-1,\quad y=-3. $$

Ответ

а) $$(-2;\,-2),\ (2;\,2)$$; б) $$(-1;\,-3),\ (7;\,-1)$$.