Упр.33.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений методом подстановки: а)система x+y=3 x2+2y2-xy+2x-3y=3; б)система y=2+x; x3-y2=-8; в)система x+y=5, x3+y3=35; г)система x+2y=1, 2×2+3xy-3y2=6.
а) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=3-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+2(3-x)^2-x(3-x)+2x-3(3-x)=3.$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$x^2+18-12x+2x^2-3x+x^2+2x-9+3x-3=0,$$
$$4x^2-10x+6=0,$$
$$2x^2-5x+3=0.$$
$$D=25-24=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm1}{4}.$$
Тогда
$$x_1=1,\quad y_1=3-1=2;$$
$$x_2=\frac32,\quad y_2=3-\frac32=\frac32.$$
б) Из первого уравнения:
$$y=x+2.$$
Подставим во второе:
$$x^3-(x+2)^2=-8.$$
Раскроем скобки:
$$x^3-x^2-4x-4=-8,$$
$$x^3-x^2-4x+4=0.$$
По условию на изображении второе уравнение записано как $$x^3-y^2=-8$$, поэтому подстановка даёт:
$$x^3-(x+2)^2=-8,$$
$$x^3-x^2-4x-4=-8,$$
$$x^3-x^2-4x+4=0.$$
Проверим корни подстановкой: $$x=0$$ и $$x=-2$$ подходят, тогда
$$y=2 \quad \text{и} \quad y=0.$$
в) Из первого уравнения:
$$y=5-x.$$
Используем формулу суммы кубов:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
Тогда
$$5(x^2-x(5-x)+(5-x)^2)=35.$$
После упрощения получаем:
$$3x^2-15x+18=0,$$
$$x^2-5x+6=0.$$
$$D=25-24=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}.$$
Следовательно,
$$x_1=2,\ y_1=3; \qquad x_2=3,\ y_2=2.$$
г) Из первого уравнения:
$$x=1-2y.$$
Подставим во второе:
$$2(1-2y)^2+3y(1-2y)-3y^2=6.$$
Раскроем скобки:
$$2-8y+8y^2+3y-6y^2-3y^2=6,$$
$$y^2+5y+4=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{-5\pm3}{2}.$$
Тогда
$$y_1=-4,\ x_1=1-2(-4)=9;$$
$$y_2=-1,\ x_2=1-2(-1)=3.$$
Ответ
а) $$\left(1;2\right),\ \left(\frac32;\frac32\right);$$ б) $$\left(0;2\right),\ \left(-2;0\right);$$ в) $$\left(2;3\right),\ \left(3;2\right);$$ г) $$\left(9;-4\right),\ \left(3;-1\right).$$
