Упр.32.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.7. а) х2 — у2 = 0; б) х2 + 7xy — 18y2 = 0; в) х2 — 3ху + 2у2 = 0; г) х2 + ху + у2 = 0.

1. а) $$x^2-y^2=0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=0$$

   Отсюда:

   $$x+y=0 \quad \text{или} \quad x-y=0$$

   то есть

   $$y=-x \quad \text{или} \quad y=x$$

   График — две прямые $$y=x$$ и $$y=-x$$.

2. б) $$x^2+7xy-18y^2=0$$

   Представим выражение в виде произведения:

   $$x^2+7xy-18y^2=x^2-2xy+9xy-18y^2$$

   $$=x(x-2y)+9y(x-2y)=(x+9y)(x-2y)=0$$

   Следовательно,

   $$x+9y=0 \quad \text{или} \quad x-2y=0$$

   то есть

   $$y=-\frac{1}{9}x \quad \text{или} \quad y=\frac{1}{2}x$$

   График — две прямые $$y=-\frac{1}{9}x$$ и $$y=\frac{1}{2}x$$.

3. в) $$x^2-3xy+2y^2=0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-3xy+2y^2=x^2-xy-2xy+2y^2$$

   $$=x(x-y)-2y(x-y)=(x-2y)(x-y)=0$$

   Отсюда:

   $$x-2y=0 \quad \text{или} \quad x-y=0$$

   то есть

   $$y=\frac{1}{2}x \quad \text{или} \quad y=x$$

   График — две прямые $$y=\frac{1}{2}x$$ и $$y=x$$.

4. г) $$x^2+xy+y^2=0$$

   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:

   $$D=y^2-4y^2=-3y^2$$

   Чтобы были действительные решения, нужно

   $$-3y^2\ge 0$$

   Отсюда

   $$y=0$$

   Тогда

   $$x^2+ x\cdot 0+0^2=0$$

   $$x^2=0,\quad x=0$$

   Единственная точка графика — $$O(0;0)$$.

Ответ

а) $$y=x$$ и $$y=-x$$;

б) $$y=\frac{1}{2}x$$ и $$y=-\frac{1}{9}x$$;

в) $$y=x$$ и $$y=\frac{1}{2}x$$;

г) точка $$O(0;0)$$.