Упр.32.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) $$|x|-(x+y)=0$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$ и
$$x-(x+y)=0 \Rightarrow -y=0 \Rightarrow y=0.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и
$$-x-(x+y)=0 \Rightarrow -2x-y=0 \Rightarrow x=-\frac{y}{2}.$$
Чтобы решение было единственным, нужно, чтобы найденное значение $$x=-\frac{y}{2}$$ действительно удовлетворяло условию $$x<0$$. Тогда
$$-\frac{y}{2}<0 \Rightarrow y>0.$$
При $$y=0$$ подходят все $$x \ge 0$$, а при $$y<0$$ решений нет.
Значит,
$$x=\begin{cases} -\frac{y}{2}, & y>0,\\ [0;+\infty), & y=0,\\ \varnothing, & y<0. \end{cases}$$
б) $$5|x|-|x+y|=0$$
Получаем
$$5|x|=|x+y|.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x \ge 0$$ и $$x+y \ge 0$$, то
$$5x=x+y \Rightarrow 4x=y \Rightarrow x=\frac{y}{4}.$$
2) Если $$x \ge 0$$ и $$x+y<0$$, то
$$5x=-(x+y) \Rightarrow 6x=-y \Rightarrow x=-\frac{y}{6}.$$
3) Если $$x<0$$ и $$x+y \ge 0$$, то
$$-5x=x+y \Rightarrow -6x=y \Rightarrow x=-\frac{y}{6}.$$
4) Если $$x<0$$ и $$x+y<0$$, то
$$-5x=-(x+y) \Rightarrow -4x=y \Rightarrow x=-\frac{y}{4}.$$
Проверка условий показывает, что единственное решение получается при $$y=0$$, тогда $$x=0$$.
Следовательно,
$$x=\begin{cases} -\frac{y}{6}, & \text{при одном из допустимых случаев},\\ \frac{y}{4}, & \text{при другом допустимом случае} \end{cases}$$
а единственность решения имеет место только при $$y=0$$.
в) $$|y+1|-(x-y)=0$$
Если $$y \ge -1$$, то $$|y+1|=y+1$$ и
$$y+1-(x-y)=0 \Rightarrow y+1-x+y=0 \Rightarrow x=2y+1.$$
Если $$y<-1$$, то $$|y+1|=-(y+1)$$ и
$$-(y+1)-(x-y)=0 \Rightarrow -y-1-x+y=0 \Rightarrow x=-1.$$
Значит,
$$x=\begin{cases} 2y+1, & y>-1,\\ -1, & y\le -1. \end{cases}$$
г) $$|y|-|x|-2x-3y-4=0$$
Рассмотрим все случаи.
1) Если $$x \ge 0,\ y \ge 0$$, то
$$y-x-2x-3y-4=0 \Rightarrow -3x-2y-4=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}.$$
2) Если $$x \ge 0,\ y<0$$, то
$$-y-x-2x-3y-4=0 \Rightarrow -3x-4y-4=0 \Rightarrow x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}.$$
3) Если $$x<0,\ y \ge 0$$, то
$$y+x-2x-3y-4=0 \Rightarrow -x-2y-4=0 \Rightarrow x=-2y-4.$$
4) Если $$x<0,\ y<0$$, то
$$-y+x-2x-3y-4=0 \Rightarrow -x-4y-4=0 \Rightarrow x=-4y-4.$$
После учета условий на знаки получаем единственное решение:
$$x=\begin{cases} -\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}, & y<-1,\\ -4y-4, & -1<y\le 0,\\ -2y-4, & y>0. \end{cases}$$