Упр.32.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) $$5\sqrt{3x-2y-4}+3\sqrt{2x+3y-7}\le 2$$
Так как $$\sqrt{3x-2y-4}\ge 0$$ и $$\sqrt{2x+3y-7}\ge 0,$$ то левая часть не меньше нуля. Чтобы сумма двух неотрицательных слагаемых была не больше $$2,$$ достаточно проверить, когда каждое из них равно нулю:
$$ \begin{cases} 3x-2y-4=0,\\ 2x+3y-7=0. \end{cases} $$
Решим систему:
$$ \begin{cases} 3x-2y=4,\\ 2x+3y=7. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3,$$ второе на $$2$$:
$$ \begin{cases} 9x-6y=12,\\ 4x+6y=14. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$13x=26,\quad x=2.$$
Тогда
$$3\cdot 2-2y=4,\quad 6-2y=4,\quad y=1.$$
Проверка: $$5\sqrt{0}+3\sqrt{0}=0\le 2.$$
б) $$4\sqrt{2x+3y}+3\sqrt{3x+4y}<3{,}5$$
Левая часть — сумма неотрицательных чисел. Чтобы она была меньше $$3{,}5,$$ оба корня должны быть определены, а значения подкоренных выражений — такими, чтобы сумма могла быть меньше $$3{,}5.$$ Проверим целочисленные решения, при которых выражения под корнями равны $$0$$ или $$1,$$ так как при больших значениях левая часть уже не может быть меньше $$3{,}5.$$
Если
$$ \begin{cases} 2x+3y=0,\\ 3x+4y=0, \end{cases} $$
то из первого уравнения $$x=-1{,}5y.$$ Подставим во второе:
$$3(-1{,}5y)+4y=0,\quad -4{,}5y+4y=0,\quad 0{,}5y=0,$$
откуда $$y=0,\ x=0.$$ Получаем точку $$ (0;0).$$
Если
$$ \begin{cases} 2x+3y=1,\\ 3x+4y=0, \end{cases} $$
то из второго уравнения $$x=-1{,}5y,$$ и
$$2(-1{,}5y)+3y=1,\quad -3y+3y=1,$$
что невозможно.
Если
$$ \begin{cases} 2x+3y=0,\\ 3x+4y=1, \end{cases} $$
то из первого уравнения $$x=-1{,}5y,$$ и
$$3(-1{,}5y)+4y=1,\quad -4{,}5y+4y=1,\quad 0{,}5y=-1,$$
откуда $$y=-2,\ x=3.$$ Получаем точку $$ (3;-2).$$
Проверка:
$$ 4\sqrt{2\cdot 3+3\cdot(-2)}+3\sqrt{3\cdot 3+4\cdot(-2)} =4\sqrt{0}+3\sqrt{1}=3<3{,}5. $$