Упр.32.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Рассмотрим неравенство

$$\log_2(\cos^2 xy+\cos^{-2}xy)\le \frac{1}{y^2+2y+2}.$$

Обозначим $$t=\cos^2 xy.$$ Тогда $$t>0$$ и $$\cos^{-2}xy=\frac{1}{t}.$$

По неравенству между средним арифметическим и геометрическим:

$$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $$t=1.$$ Значит,

$$\cos^2 xy+\cos^{-2}xy\ge 2,$$

и потому

$$\log_2(\cos^2 xy+\cos^{-2}xy)\ge \log_2 2=1.$$

Следовательно, чтобы неравенство выполнялось, правая часть должна быть не меньше 1:

$$\frac{1}{y^2+2y+2}\ge 1.$$

Так как

$$y^2+2y+2=(y+1)^2+1\ge 1,$$

то

$$\frac{1}{y^2+2y+2}\le 1.$$

Значит, возможно только равенство:

$$\log_2(\cos^2 xy+\cos^{-2}xy)=1,\qquad \frac{1}{y^2+2y+2}=1.$$

Из второго равенства получаем

$$y^2+2y+2=1,$$

$$y^2+2y+1=0,$$

$$y=-1.$$

Из первого равенства:

$$\cos^2 xy+\cos^{-2}xy=2,$$

а это возможно только при

$$\cos^2 xy=1,$$

то есть

$$\cos xy=\pm 1,$$

$$xy=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При $$y=-1$$ получаем

$$x=-\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как множество целых чисел симметрично относительно знака, можно записать

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, решения имеют вид $$\bigl(\pi n;\,-1\bigr)$$, где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\bigl(\pi n;\,-1\bigr),\quad n\in\mathbb Z.$$