Упр.32.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{(x-2y+1)^2+1}+\sqrt{(3x-y-2)^2+25}=6.$$

Так как

$$\sqrt{(x-2y+1)^2+1}\ge 1,$$

то равенство возможно только при

$$x-2y+1=0.$$

Аналогично

$$\sqrt{(3x-y-2)^2+25}\ge 5,$$

и равенство возможно только при

$$3x-y-2=0.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x-2y+1=0,\\ 3x-y-2=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения

$$x=2y-1.$$

Подставим во второе:

$$3(2y-1)-y-2=0,$$

$$6y-3-y-2=0,$$

$$5y=5,$$

$$y=1,$$

$$x=1.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\lg(1000-9x^2-4y^2+12xy)+\frac{1}{\pi}\arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)=4.$$

Так как

$$1000-9x^2-4y^2+12xy=1000-(3x-2y)^2\le 1000,$$

то

$$\lg(1000-9x^2-4y^2+12xy)\le \lg 1000=3.$$

Равенство возможно только при

$$3x-2y=0.$$

Кроме того,

$$-1\le (x+y-5)^2-1\le 1,$$

поэтому

$$0\le \frac{1}{\pi}\arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)\le 1.$$

Чтобы сумма была равна $4$, нужно, чтобы оба слагаемых достигали своих наибольших значений:

$$\lg(1000-9x^2-4y^2+12xy)=3,$$

$$\frac{1}{\pi}\arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)=1.$$

Тогда

$$1000-9x^2-4y^2+12xy=1000,$$

$$\arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)=\pi,$$

откуда

$$3x-2y=0,$$

$$ (x+y-5)^2-1=-1,$$

$$ (x+y-5)^2=0,$$

$$x+y-5=0.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 3x-2y=0,\\ x+y-5=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения

$$y=5-x.$$

Подставим в первое:

$$3x-2(5-x)=0,$$

$$3x-10+2x=0,$$

$$5x=10,$$

$$x=2,$$

$$y=3.$$

Ответ

а) $$\left(1;1\right)$$; б) $$\left(2;3\right)$$.