Упр.32.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.40. Случайным образом выбирают одно из решений системы неравенств |x-y| меньше или равно 2, |x+y| меньше или равно 2 Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена: а) ниже прямой у = 1; в) правее прямой х = 1; б) выше прямой у = 0,5; г) выше параболы у = х2.

Система

$$|x-y|\le 2,\quad |x+y|\le 2$$

равносильна системе

$$-2\le x-y\le 2,\quad -2\le x+y\le 2.$$

Отсюда

$$x-2\le y\le x+2,\quad -x-2\le y\le -x+2.$$

Множество решений — ромб с вершинами $$(-2,0),\ (0,2),\ (2,0),\ (0,-2).$$ Его площадь:

$$S=\frac{4\cdot 4}{2}=8.$$

а) Ниже прямой $$y=1$$ находится весь ромб, кроме верхнего треугольника с основанием $$2$$ и высотой $$1$$:

$$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 1=1,$$

поэтому

$$P=\frac{S-S_1}{S}=\frac{8-1}{8}=\frac78.$$

б) Выше прямой $$y=0{,}5$$ находится верхний треугольник. Его площадь пропорциональна квадрату высоты:

$$\frac{S_2}{4}=\frac{1{,}5^2}{2^2},\quad S_2=\frac{9}{4}.$$

Тогда

$$P=\frac{S_2}{S}=\frac{9/4}{8}=\frac{9}{32}.$$

в) Правее прямой $$x=1$$ находится треугольник с основанием $$2$$ и высотой $$1$$:

$$S_3=\frac12\cdot 2\cdot 1=1,$$

значит

$$P=\frac{S_3}{S}=\frac18.$$

г) Выше параболы $$y=x^2$$ внутри ромба лежит фигура, площадь которой равна

$$S_4=\int_{-1}^{0}\bigl((x+2)-x^2\bigr)\,dx+\int_{0}^{1}\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx.$$

Так как выражения симметричны, получаем

$$S_4=2\int_{0}^{1}(2-x-x^2)\,dx=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac73.$$

Тогда

$$P=\frac{S_4}{S}=\frac{7/3}{8}=\frac{7}{24}.$$

Ответ

а) $$\frac78$$; б) $$\frac{9}{32}$$; в) $$\frac18$$; г) $$\frac{7}{24}$$.