Упр.32.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.39. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством: а) х2 + у2 меньше или равно 2(|x| + |y|корень 3); б) 2(x2 + у2) меньше или равно |x|корень 3 + |у| .

Подробный ответ

а) Рассмотрим первую четверть, где $$x \ge 0,\ y \ge 0.$$ Тогда

$$x^2+y^2 \le 2(x+y\sqrt3).$$

Перенесём всё в левую часть и дополним до квадратов:

$$x^2-2x+y^2-2y\sqrt3 \le 0,$$

$$x^2-2x+1+y^2-2y\sqrt3+3 \le 4,$$

$$ (x-1)^2+(y-\sqrt3)^2 \le 4.$$

Это круг радиуса $$2$$ с центром в точке $$\left(1;\sqrt3\right).$$ В первой четверти получается часть круга, состоящая из полуокружности радиуса $$2$$ и прямоугольного треугольника с катетами $$2$$ и $$2\sqrt3.$$

Площадь этой части:

$$S_1=\frac12\pi\cdot 2^2+\frac12\cdot 2\cdot 2\sqrt3=2\pi+2\sqrt3=2(\pi+\sqrt3).$$

Так как фигура симметрична относительно обеих осей координат, то

$$S=4S_1=8(\pi+\sqrt3).$$

б) В первой четверти имеем $$x \ge 0,\ y \ge 0,$$ поэтому

$$2(x^2+y^2)\le x\sqrt3+y.$$

Делим на $$2$$ и дополняем до квадратов:

$$x^2+y^2 \le \frac{\sqrt3}{2}x+\frac12 y,$$

$$x^2-\frac{\sqrt3}{2}x+y^2-\frac12 y \le 0,$$

$$\left(x-\frac{\sqrt3}{4}\right)^2+\left(y-\frac14\right)^2 \le \frac14.$$

Это круг радиуса $$\frac12$$ с центром в точке $$\left(\frac{\sqrt3}{4};\frac14\right).$$ В первой четверти получаем часть круга, состоящую из полуокружности радиуса $$\frac12$$ и прямоугольного треугольника с катетами $$\frac{\sqrt3}{2}$$ и $$\frac12.$$

Тогда

$$S_1=\frac12\pi\left(\frac12\right)^2+\frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac12=\frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt3}{8}=\frac{\pi+\sqrt3}{8}.$$

С учётом симметрии относительно обеих осей координат:

$$S=4S_1=\frac{\pi+\sqrt3}{2}.$$