Упр.32.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.37 а)(4-x2)/(2x-3y-6) больше или равно 0; б)(x2+y2-4)/(|x|+|y|-2) меньше или равно 0.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{4-x^2}{2x+3y-6}\ge 0.$$

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака, либо числитель равен нулю, а знаменатель положителен. Поэтому получаем две системы:

$$ \begin{cases} 4-x^2\ge 0,\\ 2x+3y-6>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 4-x^2\le 0,\\ 2x+3y-6<0. \end{cases} $$

Из первой системы:

$$ 4-x^2\ge 0 \iff x^2\le 4 \iff -2\le x\le 2, $$

$$ 2x+3y-6>0 \iff y>-\frac23x+2. $$

Из второй системы:

$$ 4-x^2\le 0 \iff x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2, $$

$$ 2x+3y-6<0 \iff y<-\frac23x+2. $$

Значит, искомое множество — объединение областей, лежащих по разные стороны от прямой $$y=-\frac23x+2$$, с учётом границ при $$-2\le x\le 2$$.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\le 0.$$

Дробь неположительна, когда числитель и знаменатель разных знаков, либо числитель равен нулю, а знаменатель отрицателен. Поэтому нужно рассмотреть две системы:

$$ \begin{cases} x^2+y^2-4\le 0,\\ |x|+|y|-2>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} x^2+y^2-4\ge 0,\\ |x|+|y|-2<0. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 4,\\ |x|+|y|>2 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} x^2+y^2\ge 4,\\ |x|+|y|<2. \end{cases} $$

Но при $$|x|+|y|<2$$ всегда выполняется $$x^2+y^2<4$$, поэтому вторая система решений не имеет. Следовательно, решение — часть круга $$x^2+y^2\le 4$$ вне ромба $$|x|+|y|\le 2$$, то есть точки круга, для которых $$|x|+|y|>2$$.

Ответ

а) $$\left\{(x,y)\mid \frac{4-x^2}{2x+3y-6}\ge 0\right\}$$ — объединение областей, заданных системами
$$ \begin{cases} -2\le x\le 2,\\ y>-\frac23x+2 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2,\\ y<-\frac23x+2 \end{cases} $$
б) $$\left\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,\ |x|+|y|>2\right\}.$$