Упр.32.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$\sqrt{y+1}<x$$
Так как корень определён, то $$y+1\ge 0.$$
При $$x\le 0$$ неравенство невозможно, значит $$x>0.$$ Тогда можно возвести обе части в квадрат:
$$y+1<x^2,$$
то есть
$$y<x^2-1.$$
Итак, множество точек задаётся условиями
$$x>0,\quad y\ge -1,\quad y<x^2-1.$$
б) $$\sqrt{2xy+y^2}\ge x+y$$
Область определения:
$$2xy+y^2\ge 0.$$
Если $$x+y\le 0,$$ то неравенство выполняется автоматически. Тогда
$$y(2x+y)\ge 0,\quad x+y\le 0.$$
Если $$x+y>0,$$ можно возвести обе части в квадрат:
$$2xy+y^2\ge (x+y)^2,$$
$$2xy+y^2\ge x^2+2xy+y^2,$$
$$x^2\le 0,$$
откуда
$$x=0.$$
При $$x=0$$ получаем $$\sqrt{y^2}\ge y,$$ что верно при всех $$y.$$
Итак, множество точек задаётся объединением условий
$$x+y\le 0,\quad y(2x+y)\ge 0$$
и прямой $$x=0.$$
в) $$\sqrt{-2x-y-1}>-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$-x<0,$$ то есть $$x>0.$$
При этом можно возвести обе части в квадрат:
$$-2x-y-1>x^2,$$
$$-y>x^2+2x+1,$$
$$-y>(x+1)^2,$$
то есть
$$y<-(x+1)^2.$$
С учётом области определения:
$$-2x-y-1\ge 0,\quad x>0,\quad y<-(x+1)^2.$$
г) $$\sqrt{2xy+x^2}\ge x-y$$
Область определения:
$$2xy+x^2\ge 0.$$
Если $$x-y\le 0,$$ то неравенство выполняется автоматически. Тогда
$$x(x+2y)\ge 0,\quad y\ge x.$$
Если $$x-y>0,$$ возводим обе части в квадрат:
$$2xy+x^2\ge (x-y)^2,$$
$$2xy+x^2\ge x^2-2xy+y^2,$$
$$4xy-y^2\ge 0,$$
$$y(4x-y)\ge 0.$$
Итак, множество точек задаётся условиями
$$x(x+2y)\ge 0,\quad y\ge x$$
или
$$y(4x-y)\ge 0,\quad y<x.$$
Ответ
а) $$x>0,\ y\ge -1,\ y<x^2-1.$$
б) $$x+y\le 0,\ y(2x+y)\ge 0,$$ а также $$x=0.$$
в) $$x>0,\ y<-(x+1)^2,$$ при $$-2x-y-1\ge 0.$$
г) $$x(x+2y)\ge 0,\ y\ge x$$ или $$y(4x-y)\ge 0,\ y<x.$$
