Упр.32.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$\sqrt{3x-y-1}<\sqrt{2x+y-1}$$
Так как корни определены, то
$$ \begin{cases} 3x-y-1\ge 0,\\ 2x+y-1\ge 0. \end{cases} $$
При неотрицательных подкоренных выражениях можно возвести обе части в квадрат:
$$3x-y-1<2x+y-1.$$
Отсюда
$$x<2y,\qquad y>\frac{x}{2}.$$
Из области определения получаем также
$$y\le 3x-1,\qquad y\ge 1-2x.$$
Итак, искомое множество — пересечение полуплоскостей:
$$ \begin{cases} y>\dfrac{x}{2},\\ y\le 3x-1,\\ y\ge 1-2x. \end{cases} $$
б) $$\sqrt{1-y}\ge \sqrt{1-2x^2}$$
Область определения:
$$ \begin{cases} 1-y\ge 0,\\ 1-2x^2\ge 0. \end{cases} $$
То есть
$$y\le 1,\qquad x^2\le \frac12,\qquad |x|\le \frac{1}{\sqrt2}.$$
Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
$$1-y\ge 1-2x^2,$$
откуда
$$y\le 2x^2.$$
Следовательно, решение:
$$ \begin{cases} |x|\le \dfrac{1}{\sqrt2},\\ y\le 2x^2. \end{cases} $$
в) $$\sqrt{x+y-1}>\sqrt{2x-y}$$
Область определения:
$$ \begin{cases} x+y-1\ge 0,\\ 2x-y\ge 0. \end{cases} $$
То есть
$$y\ge 1-x,\qquad y\le 2x.$$
Возводим обе части в квадрат:
$$x+y-1>2x-y.$$
Отсюда
$$2y>x+1,\qquad y>\frac{x}{2}+\frac12.$$
Итак, искомое множество:
$$ \begin{cases} y>\dfrac{x}{2}+\dfrac12,\\ y\ge 1-x,\\ y\le 2x. \end{cases} $$
г) $$\sqrt{y^2-1}\ge \sqrt{2x-1}$$
Область определения:
$$ \begin{cases} y^2-1\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} $$
То есть
$$|y|\ge 1,\qquad x\ge \frac12.$$
После возведения в квадрат получаем:
$$y^2-1\ge 2x-1,$$
или
$$x\le \frac12 y^2.$$
Следовательно, решение:
$$ \begin{cases} x\ge \dfrac12,\\ x\le \dfrac12 y^2. \end{cases} $$
Ответ
а) $$\{(x,y)\mid y>\frac{x}{2},\ y\le 3x-1,\ y\ge 1-2x\}$$;
б) $$\{(x,y)\mid |x|\le \frac{1}{\sqrt2},\ y\le 2x^2\}$$;
в) $$\{(x,y)\mid y>\frac{x}{2}+\frac12,\ y\ge 1-x,\ y\le 2x\}$$;
г) $$\{(x,y)\mid x\ge \frac12,\ x\le \frac12 y^2\}$$.
