Упр.32.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.23. а) х2 — 5ху + 6y2 = 2; б) х2 + ху — 6у2 =5-5у; в) х2 — ху + 12y2 = 12; г) х2 — 2xy + 8у2 = 6 — 2х + 2у.
а) $$x^2-5xy+6y^2=2$$
Разложим на множители:
$$x^2-5xy+6y^2=(x-2y)(x-3y)$$
Тогда
$$ (x-2y)(x-3y)=2 $$
Так как $2$ раскладывается только как произведение целых чисел $$2=1\cdot 2=(-1)\cdot(-2),$$ получаем четыре системы:
$$ \begin{cases} x-2y=1\\ x-3y=2 \end{cases} \quad \begin{cases} x-2y=2\\ x-3y=1 \end{cases} \quad \begin{cases} x-2y=-1\\ x-3y=-2 \end{cases} \quad \begin{cases} x-2y=-2\\ x-3y=-1 \end{cases} $$
Из них находим:
$$ (x,y)=(4,1),\;(-1,-1),\;(1,1),\;(-4,-1). $$
б) $$x^2+xy-6y^2=5-5y$$
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $x$:
$$x^2+xy+(5y-6y^2-5)=0$$
Дискриминант должен быть квадратом целого числа:
$$ D=y^2-4(5y-6y^2-5)=25y^2-20y+20=(5y-2)^2+16 $$
Чтобы $D$ был квадратом целого числа, нужно, чтобы $$D=25,$$ тогда
$$ (5y-2)^2=9 $$
Отсюда
$$ 5y-2=3 \quad \text{или} \quad 5y-2=-3 $$
Получаем:
$$ y=1 \quad \text{или} \quad y=-\frac15 $$
При $y=1$:
$$ x^2+x-6=0 $$
$$ (x+3)(x-2)=0 $$
$$ x=-3 \quad \text{или} \quad x=2 $$
При $y=-\frac15$ целых значений $x$ не получается.
Значит,
$$ (x,y)=(-3,1),\;(2,1). $$
в) $$x^2-xy+12y^2=12$$
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $x$:
$$x^2-xy+(12y^2-12)=0$$
Дискриминант:
$$ D=y^2-4(12y^2-12)=48-47y^2 $$
Так как $D$ должен быть квадратом целого числа и $48-47y^2\ge 0$, то возможно только
$$y=\pm 1.$$
При $y=1$:
$$ x^2-x=0 $$
$$ x(x-1)=0 $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad x=1 $$
При $y=-1$:
$$ x^2+x=0 $$
$$ x(x+1)=0 $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad x=-1 $$
Следовательно,
$$ (x,y)=(-1,-1),\;(0,-1),\;(0,1),\;(1,1). $$
г) $$x^2-2xy+8y^2=6-2x+2y$$
Перенесём всё в левую часть:
$$x^2-2xy+8y^2+2x-2y-6=0$$
Сгруппируем:
$$ (x-y)^2+2(x-y)+7y^2-6=0 $$
Положим $$t=x-y.$$ Тогда
$$ t^2+2t+(7y^2-6)=0 $$
Дискриминант по $t$:
$$ D=4-4(7y^2-6)=28-28y^2=4(7-7y^2) $$
Чтобы $D$ был квадратом целого числа, нужно $$y=\pm 1.$$
При $y=1$:
$$ x^2-2x+8=6-2x+2 $$
$$ x^2=0 $$
$$ x=0 $$
При $y=-1$:
$$ x^2+2x+8=6-2x-2 $$
$$ x^2+4x+4=0 $$
$$ (x+2)^2=0 $$
$$ x=-2 $$
Значит,
$$ (x,y)=(0,1),\;(-2,-1). $$
Ответ
а) $(-1,-1)$, $(4,1)$, $(1,1)$, $(-4,-1)$; б) $(-3,1)$, $(2,1)$; в) $(-1,-1)$, $(0,-1)$, $(0,1)$, $(1,1)$; г) $(0,1)$, $(-2,-1)$.
