Упр.32.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.22. а) х + 2y2 = 7; в) 5х2 + у = 17; б) х2 + 2y = 1; г) 7х — 3у2 = 1.

Подробный ответ

а) $$x+2y^2=7.$$
Выразим $$x$$:
$$x=7-2y^2.$$
Пусть $$y=k$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Тогда
$$x=7-2k^2.$$
Значит, все целочисленные решения имеют вид $$\left(7-2k^2;\,k\right)$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$.
б) $$x^2+2y=1.$$
Выразим $$y$$:
$$2y=1-x^2,\qquad y=\frac{1-x^2}{2}.$$
Чтобы $$y$$ было целым числом, число $$1-x^2$$ должно делиться на $$2$$. Так как $$x^2\equiv 0 \text{ или } 1 \pmod 2$$, получаем, что $$x$$ должно быть нечётным. Пусть
$$x=1-2k,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$
Тогда
$$ y=\frac{1-(1-2k)^2}{2} =\frac{1-(1-4k+4k^2)}{2} =\frac{4k-4k^2}{2} =2k-2k^2. $$
Следовательно, все целочисленные решения:
$$\left(1-2k;\,2k-2k^2\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.$$
в) $$5x^2+y=17.$$
Выразим $$y$$:
$$y=17-5x^2.$$
Пусть $$x=k$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Тогда
$$y=17-5k^2.$$
Значит, решения имеют вид $$\left(k;\,17-5k^2\right)$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$.
г) $$7x-3y^2=1.$$
Выразим $$x$$:
$$7x=3y^2+1,\qquad x=\frac{3y^2+1}{7}.$$
Чтобы $$x$$ было целым, число $$3y^2+1$$ должно делиться на $$7$$. Проверим по модулю $$7$$:
$$3y^2+1\equiv 0 \pmod 7.$$
Так как квадраты по модулю $$7$$ могут быть только $$0,1,2,4$$, получаем, что подходит случай $$y^2\equiv 4 \pmod 7$$, то есть
$$y\equiv \pm 2 \pmod 7.$$
Пусть
$$y=7k+2 \quad \text{или} \quad y=7k-2,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$
Тогда
$$ x=\frac{3(7k+2)^2+1}{7} =\frac{147k^2+84k+13}{7} =21k^2+12k+1, $$
и
$$ x=\frac{3(7k-2)^2+1}{7} =\frac{147k^2-84k+13}{7} =21k^2-12k+1. $$
Следовательно, все целочисленные решения:
$$\left(21k^2+12k+1;\,7k+2\right),\qquad \left(21k^2-12k+1;\,7k-2\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.$$