Упр.32.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение в целых числах: 32.21. а) x + 2y = 7; в) 5х + у = 17; б) 7х + 2у = 1; г) 7x — 12y = 1.
а) $$x+2y=7.$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=7-2y.$$
Пусть $$y=k$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Тогда
$$x=7-2k.$$
Следовательно, все целочисленные решения имеют вид $$\left(7-2k;\,k\right)$$.
б) $$7x+2y=1.$$
Выразим $$x$$:
$$7x=1-2y,\qquad x=\frac{1-2y}{7}.$$
Чтобы $$x$$ было целым, число $$1-2y$$ должно делиться на $$7$$. Тогда
$$1-2y=7.$$
Отсюда
$$2y=-6,\qquad y=-3.$$
Пусть $$y=7k-3$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Тогда
$$ x=\frac{1-2(7k-3)}{7} =\frac{1-14k+6}{7} =\frac{7-14k}{7} =1-2k. $$
Значит, решения: $$\left(1-2k;\,7k-3\right)$$.
в) $$5x+y=17.$$
Выразим $$y$$:
$$y=17-5x.$$
Пусть $$x=k$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Тогда
$$y=17-5k.$$
Следовательно, все целочисленные решения имеют вид $$\left(k;\,17-5k\right)$$.
г) $$7x-12y=1.$$
Выразим $$x$$:
$$7x=1+12y,\qquad x=\frac{1+12y}{7}.$$
Чтобы $$x$$ было целым, число $$1+12y$$ должно делиться на $$7$$. Тогда
$$1+12y=-35.$$
Отсюда
$$12y=-36,\qquad y=-3.$$
Пусть $$y=7k-3$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Тогда
$$ x=\frac{1+12(7k-3)}{7} =\frac{1+84k-36}{7} =\frac{84k-35}{7} =12k-5. $$
Значит, решения: $$\left(12k-5;\,7k-3\right)$$.
Ответ
а) $$\left(7-2k;\,k\right)$$; б) $$\left(1-2k;\,7k-3\right)$$; в) $$\left(k;\,17-5k\right)$$; г) $$\left(12k-5;\,7k-3\right)$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$.
