Упр.32.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.16. Постройте на координатной плоскости множество точек (х; у) таких, что |х — 3| + |у + 3| = 3, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение: а) -3х — 2у; б) х2 + у2; в) 5х + 7у; г) ху.

Множество точек, заданное уравнением $$|x-3|+|y+3|=3,$$ — это ромб с вершинами $$B(3,0),\ C(0,-3),\ A(6,-3),\ D(3,-6).$$

Рассмотрим его стороны по отдельности.

1) Сторона $$BC$$: $$y=x-3,\quad 0\le x\le 3.$$

2) Сторона $$BA$$: $$y=3-x,\quad 3\le x\le 6.$$

3) Сторона $$CD$$: $$y=-x-3,\quad 0\le x\le 3.$$

4) Сторона $$DA$$: $$y=x-9,\quad 3\le x\le 6.$$

Найдём значения выражений на каждой стороне и объединим полученные промежутки.

а) $$-3x-2y$$

На стороне $$BC$$: $$-3x-2(x-3)=-5x+6,$$ значит $$-9\le -3x-2y\le 6.$$

На стороне $$BA$$: $$-3x-2(3-x)=-x-6,$$ значит $$-12\le -3x-2y\le -9.$$

На стороне $$CD$$: $$-3x-2(-x-3)=-x+6,$$ значит $$3\le -3x-2y\le 6.$$

На стороне $$DA$$: $$-3x-2(x-9)=-5x+18,$$ значит $$-12\le -3x-2y\le 3.$$

Итак,

$$-12\le -3x-2y\le 6.$$

б) $$x^2+y^2$$

На стороне $$BC$$: $$x^2+(x-3)^2=2x^2-6x+9,$$ поэтому $$4{,}5\le x^2+y^2\le 9.$$

На стороне $$BA$$: $$x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9,$$ поэтому $$4{,}5\le x^2+y^2\le 45.$$

На стороне $$CD$$: $$x^2+(-x-3)^2=2x^2+6x+9,$$ поэтому $$9\le x^2+y^2\le 45.$$

На стороне $$DA$$: $$x^2+(x-9)^2=2x^2-18x+81,$$ поэтому $$40{,}5\le x^2+y^2\le 45.$$

Следовательно,

$$4{,}5\le x^2+y^2\le 45.$$

в) $$5x+7y$$

На стороне $$BC$$: $$5x+7(x-3)=12x-21,$$ значит $$-21\le 5x+7y\le 15.$$

На стороне $$BA$$: $$5x+7(3-x)=-2x+21,$$ значит $$9\le 5x+7y\le 15.$$

На стороне $$CD$$: $$5x+7(-x-3)=-2x-21,$$ значит $$-27\le 5x+7y\le -21.$$

На стороне $$DA$$: $$5x+7(x-9)=12x-63,$$ значит $$-27\le 5x+7y\le 9.$$

Итак,

$$-27\le 5x+7y\le 15.$$

г) $$xy$$

На стороне $$BC$$: $$x(x-3)=x^2-3x,$$ значит $$-2{,}25\le xy\le 0.$$

На стороне $$BA$$: $$x(3-x)=-x^2+3x,$$ значит $$0\le xy\le 2{,}25.$$

На стороне $$CD$$: $$x(-x-3)=-x^2-3x,$$ значит $$-18\le xy\le 0.$$

На стороне $$DA$$: $$x(x-9)=x^2-9x,$$ значит $$-20{,}25\le xy\le -9.$$

Следовательно,

$$-20{,}25\le xy\le 2{,}25.$$

Ответ

а) $$[-12;6]$$; б) $$[4{,}5;45]$$; в) $$[-27;15]$$; г) $$[-20{,}25;2{,}25]$$.