Упр.32.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 32.14. Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком: а) 2|x| + 3|у| = 6; б) 1/3|x + 5|+ 1/5|у- 1| = 2; в) 0,5|х| + 1/3|y| = 2; г) |x-a|/p + |y-b|/q = 1,р > 0,q > 0.

1. а) $$2|x|+3|y|=6$$

   Рассмотрим случай $$x\ge 0,\ y\ge 0$$. Тогда

   $$2x+3y=6,$$

   или

   $$y=-\frac{2}{3}x+2.$$

   В первой четверти это отрезок с концами $$\left(0,2\right)$$ и $$\left(3,0\right)$$. По симметрии относительно осей координат получаем ромб с диагоналями $$d_1=4$$ и $$d_2=6$$.

   Тогда

   $$S=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12.$$

2. б) $$\frac{1}{3}|x+5|+\frac{1}{5}|y-1|=2$$

   Положим

   $$X=x+5,\quad Y=y-1.$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$\frac{1}{3}|X|+\frac{1}{5}|Y|=2.$$

   Рассмотрим случай $$X\ge 0,\ Y\ge 0$$:

   $$\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}Y=2,$$

   $$5X+3Y=30,$$

   $$Y=10-\frac{5}{3}X.$$

   В первой четверти получаем отрезок с концами $$\left(0,10\right)$$ и $$\left(6,0\right)$$. Значит, вся фигура — ромб с диагоналями $$d_1=20$$ и $$d_2=12$$.

   Тогда

   $$S=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 12=120.$$

3. в) $$0{,}5|x|+\frac{1}{3}|y|=2$$

   Рассмотрим случай $$x\ge 0,\ y\ge 0$$:

   $$0{,}5x+\frac{1}{3}y=2,$$

   $$\frac{1}{3}y=2-\frac{1}{2}x,$$

   $$y=6-\frac{3}{2}x.$$

   В первой четверти это отрезок с концами $$\left(0,6\right)$$ и $$\left(4,0\right)$$. Следовательно, фигура — ромб с диагоналями $$d_1=12$$ и $$d_2=8$$.

   Тогда

   $$S=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48.$$

4. г) $$\frac{|x-a|}{p}+\frac{|y-b|}{q}=1,\quad p>0,\ q>0$$

   Это уравнение ромба с центром в точке $$\left(a,b\right)$$. Его вершины:

   $$\left(a\pm p,\ b\right),\quad \left(a,\ b\pm q\right).$$

   Диагонали ромба равны $$2p$$ и $$2q$$, поэтому

   $$S=\frac{1}{2}\cdot 2p\cdot 2q=2pq.$$

Ответ

а) $$12$$; б) $$120$$; в) $$48$$; г) $$2pq$$.