Упр.32.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а)

   $$\frac{x^2-9y^2}{(x-3y)(x+3y)}=1$$

   Разложим числитель на множители:
   $$x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y).$$

   Тогда при $$x-3y\ne 0$$ и $$x+3y\ne 0$$ получаем:
   $$ \frac{(x-3y)(x+3y)}{(x-3y)(x+3y)}=1. $$

   Значит, графиком является вся плоскость, кроме прямых
   $$x-3y=0,\quad x+3y=0,$$
   то есть
   $$y=\frac{x}{3},\quad y=-\frac{x}{3}.$$

2. б)

   $$\frac{|x+y|}{(x+y)^2}=1$$

   Область определения:
   $$x+y\ne 0.$$

   Умножим на $$(x+y)^2$$:
   $$ |x+y|=(x+y)^2. $$

   Обозначим $$t=x+y$$, тогда $$|t|=t^2$$, $$t\ne 0$$.

   Если $$t>0$$, то $$t=t^2$$, откуда $$t=1$$.
   Если $$t<0$$, то $$-t=t^2$$, откуда $$t=-1$$.

   Следовательно, график состоит из двух прямых:
   $$x+y=1,\quad x+y=-1,$$
   то есть
   $$y=1-x,\quad y=-1-x.$$

3. в)

   $$(x+3y-1)^2+(x^2-3xy-4y^2)^2=0$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
   $$ \begin{cases} x+3y-1=0,\\ x^2-3xy-4y^2=0. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:
   $$y=\frac{1-x}{3}=\frac13-\frac{x}{3}.$$

   Второе уравнение разложим на множители:
   $$ x^2-3xy-4y^2=(x-4y)(x+y)=0. $$

   Значит, либо $$x-4y=0$$, либо $$x+y=0$$.

   1) Если $$x=4y$$, то из $$x+3y=1$$ получаем
   $$ 4y+3y=1,\quad 7y=1,\quad y=\frac17,\quad x=\frac47. $$

   2) Если $$x=-y$$, то из $$x+3y=1$$ получаем
   $$ -y+3y=1,\quad 2y=1,\quad y=\frac12,\quad x=-\frac12. $$

   График — две точки пересечения прямой $$x+3y=1$$ с прямыми $$x=4y$$ и $$x=-y$$:
   $$\left(\frac47,\frac17\right),\ \left(-\frac12,\frac12\right).$$

4. г)

   $$|x^2-y-2|+|x^2+y^2-2|=0$$

   Сумма модулей равна нулю только при одновременном выполнении:
   $$ \begin{cases} x^2-y-2=0,\\ x^2+y^2-2=0. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:
   $$y=x^2-2.$$

   Подставим во второе:
   $$ x^2+(x^2-2)^2-2=0. $$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$ t+(t-2)^2-2=0 $$
   $$ t+t^2-4t+4-2=0 $$
   $$ t^2-3t+2=0 $$
   $$ (t-1)(t-2)=0. $$

   Значит, $$t=1$$ или $$t=2$$, то есть
   $$x^2=1 \quad \text{или} \quad x^2=2.$$

   Тогда:
   
   при $$x^2=1$$ имеем $$y=1-2=-1$$;
   
   при $$x^2=2$$ имеем $$y=2-2=0$$.

   Получаем точки:
   $$(-1,-1),\ (1,-1),\ (-\sqrt2,0),\ (\sqrt2,0).$$

Ответ

а) $$y\ne \frac{x}{3},\ y\ne -\frac{x}{3}.$$
б) $$y=1-x,\ y=-1-x.$$
в) $$\left(\frac47,\frac17\right),\ \left(-\frac12,\frac12\right).$$
г) $$(-1,-1),\ (1,-1),\ (-\sqrt2,0),\ (\sqrt2,0).$$