Упр.31.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) При $$a+b\ge 0$$ имеем:

$$ab(a+b)\le a^3+b^3$$
$$ab(a+b)\le (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$ab\le a^2-ab+b^2$$
$$a^2-2ab+b^2\ge 0$$
$$ (a-b)^2\ge 0.$$

Последнее неравенство верно при любых $a$ и $b$, значит, неравенство доказано.

б) При $$a+b\ge 0,\quad a\ne 0,\quad b\ne 0$$ преобразуем левую и правую части:

$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\ge 0$$
$$\frac{a^3+b^3-ab^2-a^2b}{(ab)^2}\ge 0$$
$$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}{(ab)^2}\ge 0$$
$$\frac{(a+b)(a^2-2ab+b^2)}{(ab)^2}\ge 0$$
$$\frac{(a+b)(a-b)^2}{(ab)^2}\ge 0.$$

Так как $$a+b\ge 0$$, а $$ (a-b)^2\ge 0$$ и $$ (ab)^2>0$$, то неравенство верно.

Ответ

а) $$ab(a+b)\le a^3+b^3$$; б) $$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$$.