Упр.31.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 31.27 а) ln(1 + х) > х — x2/2 при всех х принадлежит (0; + бесконечность); б) sinx > х — x2/6 при всех х принадлежит (0; + бесконечность); в) ех больше или равно 1 + х + x2/2 при всех х принадлежит R; г) cos х > 1— x2/2 при всех х принадлежит (0; +бесконечность).

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}, \quad x\in[0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{1+x-(1+x)(1-x)}{1+x}=\frac{x^2}{1+x}\ge 0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ не убывает на $$[0;+\infty).$$ При этом

$$f(0)=\ln 1-0+\frac{0^2}{2}=0.$$

Следовательно, при $$x>0$$ имеем $$f(x)>0,$$ то есть

$$\ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}, \quad x\in[0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}.$$

Тогда

$$f»(x)=-\sin x+x,$$

$$f»'(x)=1-\cos x\ge 0.$$

Значит, $$f»(x)$$ возрастает на $$[0;+\infty),$$ а так как

$$f»(0)=0,$$

то $$f»(x)\ge 0.$$ Следовательно, $$f'(x)$$ возрастает. Кроме того,

$$f'(0)=\cos 0-1+\frac{0^2}{2}=0.$$

Значит, $$f'(x)\ge 0,$$ а значит, $$f(x)$$ возрастает. Так как

$$f(0)=\sin 0-0+\frac{0^3}{6}=0,$$

получаем

$$\sin x>x-\frac{x^3}{6}.$$

в) Рассмотрим функцию $$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}, \quad x\in\mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=e^x-1-x.$$

Тогда

$$f»(x)=e^x-1\ge 0 \quad \text{при } x\ge 0.$$

Но удобнее заметить, что

$$f'(0)=e^0-1-0=0,$$

а

$$f»(x)=e^x-1\ge 0 \quad \text{для } x\ge 0.$$

Следовательно, на $$[0;+\infty)$$ функция $$f'(x)$$ не убывает, значит $$f'(x)\ge 0,$$ и потому $$f(x)\ge 0.$$ При $$x=0$$ имеем $$f(0)=0.$$ Отсюда

$$e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}.$$

г) Рассмотрим функцию $$f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}, \quad x\in[0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\sin x+x.$$

Тогда

$$f»(x)=1-\cos x\ge 0.$$

Значит, $$f'(x)$$ возрастает. Кроме того,

$$f'(0)=-\sin 0+0=0.$$

Следовательно, $$f'(x)\ge 0,$$ значит, $$f(x)$$ возрастает. Так как

$$f(0)=\cos 0-1+\frac{0^2}{2}=0,$$

то

$$\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}.$$

При $$x>0$$ получаем строгое неравенство:

$$\cos x>1-\frac{x^2}{2}.$$

Ответ

а) $$\ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}$$ при $$x>0$$;
б) $$\sin x>x-\frac{x^3}{6}$$ при $$x>0$$;
в) $$e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}$$ при $$x\in\mathbb{R}$$;
г) $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}$$ при $$x>0$$.