Упр.31.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=1+\ln x-x$$ при $$x\in(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.$$

Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, то знак производной определяется числителем:

$$f'(x)\le 0 \iff 1-x\le 0 \iff x\ge 1.$$

Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$ Следовательно, в точке $$x=1$$ достигается максимум:

$$f(1)=1+\ln 1-1=0.$$

Тогда для всех $$x>0$$

$$1+\ln x-x\le 0,$$

то есть

$$1+\ln x\le x.$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=e^x-1-x$$ при $$x\in\mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=e^x-1.$$

Если $$x<0,$$ то $$e^x<1,$$ значит $$g'(x)<0.$$ Если $$x>0,$$ то $$e^x>1,$$ значит $$g'(x)>0.$$ Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

Минимум достигается при $$x=0$$:

$$g(0)=e^0-1-0=0.$$

Значит, для всех $$x\in\mathbb{R}$$

$$e^x-1-x\ge 0,$$

то есть

$$e^x\ge 1+x.$$