Упр.31.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x-x$$ на промежутке $$x\in(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\cos x-1\le 0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ не возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$

Кроме того,

$$f(0)=\sin 0-0=0.$$

Следовательно, при всех $$x>0$$ имеем

$$\sin x-x<0.$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=\tg x-x$$ на промежутке $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tg^2 x\ge 0.$$

Значит, функция $$g(x)$$ возрастает на $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Так как

$$g(0)=\tg 0-0=0,$$

то при всех $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

$$\tg x-x>0.$$

Ответ

а) $$\sin x-x<0$$ при $$x\in(0;+\infty);$$

б) $$\tg x-x>0$$ при $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$