Упр.31.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 31.24 а)корень n < 1+1/корень 2+1/корень 3+...+1/корень n, где n больше или равно 2; б)2корень n > 1+1/корень 2+1/корень 3+…+1/корень n, где n больше или равно 2;

а) Докажем неравенство методом математической индукции.

При $$n=2$$ имеем:

$$\sqrt{2}<1+\frac{1}{\sqrt{2}},$$

так как

$$1<\sqrt{2}.$$

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$\sqrt{k}<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$\sqrt{k+1}<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$$

Из предположения индукции получаем:

$$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$$

Осталось показать, что

$$\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}.$$

Это равносильно неравенству

$$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$$

Умножим на $$\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})>0$$:

$$k+1-k<\sqrt{k+1}+\sqrt{k},$$

то есть

$$1<\sqrt{k+1}+\sqrt{k},$$

что верно. Значит, неравенство доказано для $$n=k+1$$.

Следовательно, оно верно для всех $$n\ge 2$$.

б) Докажем по индукции неравенство

$$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}, \quad n\ge 2.$$

При $$n=2$$:

$$1+\frac{1}{\sqrt{2}}<2\sqrt{2},$$

что верно.

Пусть для $$n=k$$ выполнено:

$$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{k}.$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$$

Достаточно доказать, что

$$2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1}.$$

Предположим противное:

$$2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\ge 2\sqrt{k+1}.$$

Тогда

$$2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}\le \frac{1}{\sqrt{k+1}}.$$

Умножим на $$\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})>0$$:

$$2(k+1)-2\sqrt{k(k+1)}\le 1,$$

то есть

$$2\sqrt{k(k+1)}\ge 2k+1.$$

Возведём в квадрат:

$$4k(k+1)\ge (2k+1)^2,$$

$$4k^2+4k\ge 4k^2+4k+1,$$

$$0\ge 1,$$

противоречие. Значит,

$$2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1},$$

и неравенство верно для $$n=k+1$$.

Следовательно, оно верно для всех $$n\ge 2$$.

Ответ

а) $$\sqrt{n}<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$$ при $$n\ge 2$$;

б) $$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}$$ при $$n\ge 2$$.