Упр.31.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Докажите неравенство, воспользовавшись методом математической индукции: 31.23. а) 2n > n2, где n больше или равно 5; б) 2n > n3, где n больше или равно 10.

Подробный ответ

Докажем по индукции неравенство $$2^n>n^2$$ при $$n\ge 5$$.
1) База индукции. При $$n=5$$ имеем:
$$2^5=32,\quad 5^2=25,\quad 32>25.$$
Значит, утверждение верно при $$n=5$$.
2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n\ge 5$$ верно $$2^n>n^2$$. Докажем, что тогда $$2^{n+1}>(n+1)^2$$.
Из предположения индукции:
$$2^{n+1}=2\cdot 2^n>2n^2.$$
Осталось показать, что $$2n^2\ge (n+1)^2$$ при $$n\ge 5$$. Действительно,
$$2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2.$$
При $$n\ge 5$$ получаем
$$ (n-1)^2-2\ge 4^2-2=14>0, $$
значит, $$2n^2>(n+1)^2$$. Следовательно,
$$2^{n+1}>(n+1)^2.$$
Неравенство доказано.
Докажем по индукции неравенство $$2^n>n^3$$ при $$n\ge 10$$.
1) База индукции. При $$n=10$$:
$$2^{10}=1024,\quad 10^3=1000,\quad 1024>1000.$$
Значит, утверждение верно при $$n=10$$.
2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n\ge 10$$ верно $$2^n>n^3$$. Докажем, что тогда $$2^{n+1}>(n+1)^3$$.
Из предположения индукции:
$$2^{n+1}=2\cdot 2^n>2n^3.$$
Осталось показать, что $$2n^3\ge (n+1)^3$$ при $$n\ge 10$$. Рассмотрим разность:
$$2n^3-(n+1)^3=n^3-3n^2-3n-1.$$
При $$n\ge 10$$ имеем
$$n^3-3n^2-3n-1\ge 10^3-3\cdot 10^2-3\cdot 10-1=669>0.$$
Значит, $$2n^3>(n+1)^3$$, а потому
$$2^{n+1}>(n+1)^3.$$
Неравенство доказано.