Упр.31.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) При $$n,k \ge 2$$ и любом $$x \in \mathbb{R}$$ имеем

$$-1 \le \sin x \le 1,\qquad -1 \le \cos x \le 1.$$

Так как $$|\sin x| \le 1$$ и $$|\cos x| \le 1,$$ то при возведении в степень, не меньшую 2, значения не увеличиваются:

$$\sin^n x \le \sin^2 x,\qquad \cos^k x \le \cos^2 x.$$

Тогда

$$\sin^n x+\cos^k x \le \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Следовательно, неравенство доказано.

б) Пусть $$0<\alpha,\beta<1$$ и $$x \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$ Тогда

$$0 \le \sin x \le 1,\qquad 0 \le \cos x \le 1.$$

При показателях, меньших 1, для чисел из отрезка $$[0;1]$$ значение степени не увеличивается в обратную сторону, поэтому

$$\sin^\alpha x \ge \sin^2 x,\qquad \cos^\beta x \ge \cos^2 x.$$

Отсюда

$$\sin^\alpha x+\cos^\beta x \ge \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Следовательно, неравенство доказано.

Ответ

а) $$\sin^n x+\cos^k x \le 1.$$

б) $$\sin^\alpha x+\cos^\beta x \ge 1.$$