Упр.31.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Пусть $$x,y \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$
а)
$$\frac{\sin x+\sin y}{2}-\sin\frac{x+y}{2} =\frac{1}{2}\left(\sin x+\sin y-2\sin\frac{x+y}{2}\right).$$
Используем формулу суммы синусов:
$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$
Тогда
$$ \frac{\sin x+\sin y}{2}-\sin\frac{x+y}{2} =\sin\frac{x+y}{2}\left(\cos\frac{x-y}{2}-1\right)\le 0. $$
Значит,
$$\sin\frac{x+y}{2}\ge \frac{\sin x+\sin y}{2}.$$
б)
$$\frac{\tan x+\tan y}{2}-\tan\frac{x+y}{2}$$
Преобразуем разность:
$$ \tan\frac{x+y}{2} =\frac{\sin\frac{x+y}{2}}{\cos\frac{x+y}{2}} \le \frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}\right). $$
После приведения к общему знаменателю получаем:
$$ \frac{\sin\frac{x+y}{2}}{\cos\frac{x+y}{2}} \le \frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{2\cos x\cos y} =\frac{\sin(x+y)}{2\cos x\cos y}. $$
Так как
$$ \sin(x+y)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}, $$
то
$$ \cos x\cos y\le \cos^2\frac{x+y}{2}. $$
Следовательно,
$$ 2\cos x\cos y\le 1+\cos(x+y), $$
а значит,
$$\tan\frac{x+y}{2}\le \frac{\tan x+\tan y}{2}.$$
в)
$$\cos\frac{x+y}{2}\ge \frac{\cos x+\cos y}{2}.$$
Используем формулу суммы косинусов:
$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$
Тогда
$$ \cos\frac{x+y}{2}-\frac{\cos x+\cos y}{2} =\cos\frac{x+y}{2}\left(1-\cos\frac{x-y}{2}\right)\ge 0. $$
Следовательно,
$$\cos\frac{x+y}{2}\ge \frac{\cos x+\cos y}{2}.$$
г)
$$\cot\frac{x+y}{2}\le \frac{\cot x+\cot y}{2}.$$
Запишем:
$$ \cot\frac{x+y}{2}=\frac{\cos\frac{x+y}{2}}{\sin\frac{x+y}{2}}, \qquad \cot x+\cot y=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\cos y}{\sin y}. $$
После приведения к общему знаменателю:
$$ \frac{\cos\frac{x+y}{2}}{\sin\frac{x+y}{2}} \le \frac{\cos x\sin y+\cos y\sin x}{2\sin x\sin y} = \frac{\sin(x+y)}{2\sin x\sin y}. $$
Так как
$$ \sin(x+y)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}, $$
то
$$ \sin x\sin y\le \sin^2\frac{x+y}{2}. $$
Следовательно,
$$ 2\sin x\sin y\le 1-\cos(x+y), $$
а значит,
$$\cot\frac{x+y}{2}\le \frac{\cot x+\cot y}{2}.$$
Ответ
$$\sin\frac{x+y}{2}\ge \frac{\sin x+\sin y}{2},\qquad \tan\frac{x+y}{2}\le \frac{\tan x+\tan y}{2},\qquad \cos\frac{x+y}{2}\ge \frac{\cos x+\cos y}{2},\qquad \cot\frac{x+y}{2}\le \frac{\cot x+\cot y}{2}.$$
