Упр.31.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Пусть $$A$$ и $$B$$ — острые углы тупоугольного треугольника. Тогда $$0<A<90^\circ,$$ $$0<B<90^\circ,$$ $$90^\circ<C<180^\circ.$$

Следовательно, $$\tg A>0,$$ $$\tg B>0,$$ а так как $$C$$ — тупой угол, то $$\tg C<0.$$

Из суммы углов треугольника имеем:

$$A+B+C=180^\circ,\qquad A+B=180^\circ-C.$$

Тогда

$$\tg(A+B)=\tg(180^\circ-C)=-\tg C>0.$$

По формуле сложения тангенсов:

$$\tg(A+B)=\frac{\tg A+\tg B}{1-\tg A\cdot \tg B}.$$

Числитель положителен, значит и знаменатель должен быть положительным:

$$1-\tg A\cdot \tg B>0.$$

Отсюда

$$\tg A\cdot \tg B<1.$$

б) Пусть $$A$$ и $$B$$ — острые углы остроугольного треугольника. Тогда $$0<A<90^\circ,$$ $$0<B<90^\circ,$$ $$0<C<90^\circ.$$

Следовательно, $$\tg A>0,$$ $$\tg B>0,$$ $$\tg C>0.$$

Снова имеем:

$$A+B+C=180^\circ,\qquad A+B=180^\circ-C.$$

Тогда

$$\tg(A+B)=\tg(180^\circ-C)=-\tg C<0.$$

По формуле сложения тангенсов:

$$\tg(A+B)=\frac{\tg A+\tg B}{1-\tg A\cdot \tg B}.$$

Числитель положителен, а вся дробь отрицательна, значит знаменатель отрицателен:

$$1-\tg A\cdot \tg B<0.$$

Отсюда

$$\tg A\cdot \tg B>1.$$

Ответ

а) $$\tg A\cdot \tg B<1$$; б) $$\tg A\cdot \tg B>1$$.