Упр.31.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{\cos x}<\sqrt{2}\cos\frac{x}{2}, \quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$
На данном промежутке $$\cos x>0$$ и $$\cos\frac{x}{2}>0$$, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$$ \cos x<2\cos^2\frac{x}{2}. $$
Используем формулу $$\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1$$:
$$ 2\cos^2\frac{x}{2}-1<2\cos^2\frac{x}{2}, $$
то есть
$$ -1<0. $$
Это верно, значит неравенство доказано.
б) $$\sqrt{\sin x}>\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}, \quad x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$
На данном промежутке $$\sin x>0$$ и $$\sin\frac{x}{2}>0$$, поэтому возведём обе части в квадрат:
$$ \sin x>2\sin^2\frac{x}{2}. $$
По формуле $$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$ получаем:
$$ 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}>2\sin^2\frac{x}{2}, $$
$$ \sin\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)>0. $$
Так как $$0<x<\frac{\pi}{2}$$, то $$0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{4}$$, а значит
$$ \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)<0. $$
Следовательно, исходное неравенство верно.
в) $$\sqrt{\cos x}\ge \cos x\ge \cos^2 x, \quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$
На данном промежутке $$0<\cos x\le 1$$.
Тогда при $$0<a\le 1$$ выполняется $$\sqrt{a}\ge a\ge a^2$$. Значит,
$$ \sqrt{\cos x}\ge \cos x\ge \cos^2 x. $$
Неравенство доказано.
г) $$\sqrt{\sin x}\ge \sin x\ge \sin^2 x, \quad x\in(0;\pi).$$
На данном промежутке $$0<\sin x\le 1$$.
Для любого $$a$$, где $$0<a\le 1$$, верно $$\sqrt{a}\ge a\ge a^2$$. Следовательно,
$$ \sqrt{\sin x}\ge \sin x\ge \sin^2 x. $$
Неравенство доказано.