Упр.31.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 31.18. Докажите, что для любого натурального числа n больше или равно 2 выполняется неравенство: а) корень 1 + корень 2 + корень 3 + … + корень n > n; б)1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) +…+1/2n > 1/2

Подробный ответ

а) Для любого натурального числа $$n \ge 2$$ имеем:

$$\sqrt{1}=1,\quad \sqrt{2}>1,\quad \sqrt{3}>1,\quad \ldots,\quad \sqrt{n}>1.$$

Тогда

$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}>1+1+1+\cdots+1=n.$$

Следовательно, неравенство доказано.

б) Так как $$n \ge 2,$$ то для каждого слагаемого выполняется:

$$n+1<2n,\quad n+2<2n,\quad n+3<2n,\quad \ldots,\quad 2n<2n.$$

Значит,

$$\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n},\quad \frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n},\quad \frac{1}{n+3}>\frac{1}{2n},\quad \ldots,\quad \frac{1}{2n}=\frac{1}{2n}.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}>\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}}_{n\text{ слагаемых}}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, неравенство доказано.