Упр.31.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 31.17 а)1/1^2+1/2^2 + 1/3^2 + … +1/n2 < 1+1/1*2+1/2*3 + ...+1/(n-1)n; б)1^2/(1+1^4) + 2^2/(1+2^4) + 3^2/(1+3^4)+ ...+10^2/(1+10^4) < 1,9.

а) Для каждого $$k=2,3,\dots,n$$ имеем

$$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{(k-1)k},$$

так как $$k^2>(k-1)k.$$ Тогда

$$ \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{n^2} < 1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{(n-1)n}. $$

Неравенство доказано.

б) Для каждого $$k=1,2,\dots,10$$

$$\frac{k^2}{1+k^4}<\frac{k^2}{k^4}=\frac{1}{k^2}.$$

Значит,

$$ \frac{1^2}{1+1^4}+\frac{2^2}{1+2^4}+\frac{3^2}{1+3^4}+\dots+\frac{10^2}{1+10^4} < \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{10^2}. $$

Оценим правую часть:

$$ \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{10^2} < 1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{9\cdot 10}. $$

Тогда

$$ 1+\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\dots+\left(\frac19-\frac1{10}\right) =2-\frac1{10}=1{,}9. $$

Следовательно,

$$ \frac{1^2}{1+1^4}+\frac{2^2}{1+2^4}+\frac{3^2}{1+3^4}+\dots+\frac{10^2}{1+10^4}<1{,}9. $$

Неравенство доказано.

Ответ

а) $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{(n-1)n}$$; б) $$\frac{1^2}{1+1^4}+\frac{2^2}{1+2^4}+\dots+\frac{10^2}{1+10^4}<1{,}9$$.