Упр.31.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(\sqrt{p+q}\right)^2 \le \left(\sqrt p+\sqrt q\right)^2$$

   $$p+q \le p+q+2\sqrt{pq}$$

   $$2\sqrt{pq}\ge 0.$$

   Так как $$p>0,\ q>0,$$ то $$\sqrt{pq}\ge 0,$$ следовательно, неравенство верно.

2. б) Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(\sqrt{\frac{p+q}{2}}\right)^2 \ge \left(\frac{\sqrt p+\sqrt q}{2}\right)^2$$

   $$\frac{p+q}{2}\ge \frac{p+2\sqrt{pq}+q}{4}.$$

   Умножим на $$4$$:

   $$2p+2q\ge p+2\sqrt{pq}+q,$$

   $$p-2\sqrt{pq}+q\ge 0,$$

   $$\left(\sqrt p-\sqrt q\right)^2\ge 0.$$

   Неравенство доказано.

3. в) Возведём обе части в квадрат:

   $$p+q+r \le \left(\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r\right)^2$$

   $$p+q+r \le p+q+r+2\sqrt{pq}+2\sqrt{qr}+2\sqrt{pr}.$$

   Так как

   $$2\sqrt{pq}+2\sqrt{qr}+2\sqrt{pr}\ge 0,$$

   то неравенство верно.

4. г) Возведём обе части в квадрат:

   $$\frac{p^2+q^2+r^2}{3}\ge \frac{(p+q+r)^2}{9}.$$

   Умножим на $$9$$:

   $$3p^2+3q^2+3r^2\ge p^2+q^2+r^2+2pq+2qr+2pr,$$

   $$2p^2+2q^2+2r^2-2pq-2qr-2pr\ge 0,$$

   $$\left(p-q\right)^2+\left(q-r\right)^2+\left(r-p\right)^2\ge 0.$$

   Следовательно, неравенство доказано.

Ответ

Все неравенства доказаны.