Упр.31.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) При $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$ имеем

$$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2 \ge 0.$$

Значит,

$$a+b \ge 2\sqrt{ab}.$$

б) При $$a \ge 0,\ b \ge 0,\ c \ge 0$$ сложим три неравенства:

$$a+b \ge 2\sqrt{ab}, \qquad b+c \ge 2\sqrt{bc}, \qquad c+a \ge 2\sqrt{ca}.$$

Тогда

$$2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca},$$

откуда

$$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$$

Равносильно этому

$$\bigl(\sqrt a-\sqrt b\bigr)^2+\bigl(\sqrt b-\sqrt c\bigr)^2+\bigl(\sqrt c-\sqrt a\bigr)^2 \ge 0.$$

в) По неравенству Коши:

$$ (c+a)(a+b)(b+c) \ge 2\sqrt{ca}\cdot 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}=8abc. $$

Следовательно,

$$ (c+a)(a+b)(b+c) \ge 8abc. $$

г) Так как $$a+b+c=1,$$ то

$$1-a=b+c,\qquad 1-b=c+a,\qquad 1-c=a+b.$$

Тогда

$$ (1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(c+a)(a+b). $$

По пункту в) получаем

$$ (1-a)(1-b)(1-c) \ge 8abc. $$

Ответ

$$a+b \ge 2\sqrt{ab};$$
$$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca};$$
$$ (c+a)(a+b)(b+c) \ge 8abc;$$
$$ (1-a)(1-b)(1-c) \ge 8abc \quad \text{при } a+b+c=1.$$