Упр.31.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а)
$$x^2+\frac{25}{4x^2}\ge 5,\quad x\ne 0$$
Перенесём $5$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$ x^2-5+\frac{25}{4x^2}\ge 0 $$
$$ \frac{4x^4-20x^2+25}{4x^2}\ge 0 $$
$$ \frac{(2x^2-5)^2}{4x^2}\ge 0 $$
Так как числитель — квадрат, а знаменатель при $x\ne 0$ положителен, неравенство верно при всех допустимых $x$.
б)
$$ \frac{z^2+10}{\sqrt{z^2+9}}\ge 2 $$
Так как $\sqrt{z^2+9}>0$, умножим на знаменатель:
$$ z^2+10-2\sqrt{z^2+9}\ge 0 $$
$$ z^2+9+1-2\sqrt{z^2+9}\ge 0 $$
$$ \left(\sqrt{z^2+9}-1\right)^2\ge 0 $$
Неравенство верно при всех $z$.
в)
$$ x^2y^2+\frac{z^2}{y^2}\ge 2xz,\quad y\ne 0 $$
Перенесём всё в левую часть:
$$ x^2y^2-2xz+\frac{z^2}{y^2}\ge 0 $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{x^2y^4-2xy^2z+z^2}{y^2}\ge 0 $$
$$ \frac{(xy^2-z)^2}{y^2}\ge 0 $$
Следовательно, неравенство верно при всех допустимых $y\ne 0$.
г)
$$ \frac{6\sqrt{c^2+3}}{c^2+12}\le 1 $$
Так как $c^2+12>0$, перенесём $1$ в левую часть:
$$ 1-\frac{6\sqrt{c^2+3}}{c^2+12}\ge 0 $$
$$ \frac{c^2+12-6\sqrt{c^2+3}}{c^2+12}\ge 0 $$
$$ \frac{c^2+3-6\sqrt{c^2+3}+9}{c^2+12}\ge 0 $$
$$ \frac{\left(\sqrt{c^2+3}-3\right)^2}{c^2+12}\ge 0 $$
Неравенство доказано.