Упр.31.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 31.12. а2b2с2(а2 + b2 + с2) + а2b2 + b2с2 + с2а2 больше или равно 6а2b2с2.

Не ограничивая общности, считаем, что $$a,b,c \ge 0.$$ Тогда

$$ a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 $$

перепишем так:

$$ a^2b^2(a^2c^2+1)+b^2c^2(a^2b^2+1)+c^2a^2(b^2c^2+1). $$

По неравенству Коши для каждого слагаемого получаем:

$$ a^2b^2(a^2c^2+1)+b^2c^2(a^2b^2+1)+c^2a^2(b^2c^2+1) $$

$$ \ge a^2b^2 \cdot 2ac+b^2c^2 \cdot 2ab+c^2a^2 \cdot 2bc $$

$$ =2a^3b^2c+2ab^3c^2+2a^2bc^3 =2abc(a^2b+b^2c+ac^2). $$

Теперь снова применим неравенство Коши в обобщённом виде:

$$ a^2b+b^2c+ac^2 \ge 3\sqrt[3]{a^2b\cdot b^2c\cdot ac^2}=3abc. $$

Тогда

$$ 2abc(a^2b+b^2c+ac^2)\ge 2abc\cdot 3abc=6a^2b^2c^2. $$

Следовательно,

$$ a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge 6a^2b^2c^2. $$

Ответ

$$a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge 6a^2b^2c^2.$$