Упр.31.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 31.11. а) (х2 + у2)(х2у2 +1) больше или равно 4х2у2; б) (а4 + b4)(а4b4 + 1)(а2b6 + а6b2) больше или равно 8а8b8.

а) Докажем, что $$\left(x^2+y^2\right)\left(x^2y^2+1\right)\ge 4x^2y^2.$$

Из неотрицательности квадрата имеем:

$$\left(x-y\right)^2\ge 0,$$

откуда

$$x^2+y^2\ge 2xy.$$

Также

$$\left(xy-1\right)^2\ge 0,$$

следовательно,

$$x^2y^2+1\ge 2xy.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$\left(x^2+y^2\right)\left(x^2y^2+1\right)\ge 2xy\cdot 2xy=4x^2y^2.$$

Неравенство доказано.

б) Докажем, что $$\left(a^4+b^4\right)\left(a^4b^4+1\right)\left(a^2b^6+a^6b^2\right)\ge 8a^8b^8.$$

По неравенству Коши:

$$a^4+b^4\ge 2a^2b^2,$$

$$a^4b^4+1\ge 2a^2b^2,$$

$$a^2b^6+a^6b^2=a^2b^2\left(b^4+a^4\right)\ge a^2b^2\cdot 2a^2b^2=2a^4b^4.$$

Перемножая эти оценки, получаем:

$$\left(a^4+b^4\right)\left(a^4b^4+1\right)\left(a^2b^6+a^6b^2\right)\ge 2a^2b^2\cdot 2a^2b^2\cdot 2a^4b^4=8a^8b^8.$$

Неравенство доказано.

Ответ

а) $$\left(x^2+y^2\right)\left(x^2y^2+1\right)\ge 4x^2y^2$$; б) $$\left(a^4+b^4\right)\left(a^4b^4+1\right)\left(a^2b^6+a^6b^2\right)\ge 8a^8b^8$$.